2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение в натуральных и рациональных числах
Сообщение03.06.2019, 22:35 


16/08/05
1146
Для уравнения

$\dfrac{\sqrt{g m-1}-\sqrt{m-1}}{g+1}=f$

где $f,g$ - натуральные больше единицы, $m$ - положительное рациональное нецелое,

найдите минимальную тройку чисел $(f,g,m)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных и рациональных числах
Сообщение04.06.2019, 03:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Ну, мне сразу пришла в голову подстановка $\sqrt{m-1}=t$, где $t>0$ (так как $m$ не целое и больше $1$), откуда $m=t^2+1$. Умножая уравнение на $g+1$ и подставляя $m$, получим $$\sqrt{g(t^2+1)-1}=t+f(g+1).$$ Правая часть здесь заведомо положительная, поэтому возведение в квадрат даёт равносильное уравнение $$(g-1)t^2-2f(g+1)t+g-1-f^2(g+1)^2=0.$$ Свободный член этого квадратного (относительно $t$) уравнения отрицателен, поэтому у него один положительный и один отрицательный корень.
Дискриминант этого уравнения равен $$D=4(f^2g(g+1)^2-(g-1)^2),$$ а положительный корень равен $$t=\frac{f(g+1)+\sqrt{f^2g(g+1)^2-(g-1)^2}}{g-1}.$$
Далее применяем грубую силу: перебираем все пары целых $f$ и $g$ в промежутках $2\leqslant f\leqslant 1000$ и $2\leqslant g\leqslant 1000$ и находим два случая, когда дискриминант оказывается точным квадратом: $f=4$, $g=73$, $D=2\,528$, $t=\frac{353}9$, $m=\frac{124\,690}{81}$ и $f=9$, $g=145$, $D=15\,822$, $t=119$, $m=14\,162$. Поскольку по условию число $m$ не должно быть целым, получаем решение $$f=4,g=73,m=\frac{124\,690}{81}.$$ Наименьшее оно или нет, неизвестно, поскольку, во-первых, критерии "наименьшести" не указаны, а во-вторых, о других решениях ничего неизвестно.
Вероятно, автор имел в виду какой-нибудь хитрый метод, но я, к сожалению, хитрых методов не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных и рациональных числах
Сообщение04.06.2019, 06:11 


16/08/05
1146
Someone
Верно!
Для меня интересным в уравнении оказалось то, что $f$ и $m$ не независимы, потому что в форме дискриминанта прослеживается Пелля уравнение, решения которого зависят только от $g$ .
Последовательность $g$, при которых исходное уравнение имеет решения: 73,145,313,337,409,457,481,577,...
Если не ошибаюсь, то следующее $f>4$ при зафиксированном $g=73$ - перебором уже не достать, нужно применять технику решения уравнения Пелля.
Первоисточник с несколько другими уравнениями - отсюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных и рациональных числах
Сообщение04.06.2019, 06:49 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Сначала можно доказать, что $g$ не может быть точным квадратом. Затем --- решать уравнение
$$f^2g(g+1)^2-(g-1)^2=x^2$$ как уравнение Пелля относительно пары $(x,f)$. Наименьшее целое значение $g>1$, при котором это уравнение разрешимо, есть $g=73$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group