2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Диофантово уравнение.
Сообщение30.05.2019, 17:19 


03/03/12
1380
Можно показать, что для существования нетривиальных решений уравнения $y^3=2x^2+1$ необходимо выполнение условия $4x^4-3p^2=q^2$. (Будем рассматривать случай $x^2\neq p\neq q$, $p\neq0$.)

$(2k+1)^3=2x^2+1$
$k[(2k+1)^2+(2k+1)+1]=x^2$
$kt^2+kt+k-x^2=0$

Решаем пару квадратных уравнений и получаем нужное условие.

Далее, если показать, что в этом условии $x\neq3m$, то прийдём к известному элементарному решению, в котором это условие будет достаточным для несуществования нетривиальных решений.

Меня интересует вопрос: верно ли, что в уравнении $4x^4-3p^2=q^2$ $x\neq3m$ (нужны школьные методы).

Я проверила на Вольфраме при $1\le q\le40$. Плюс логические рассуждения. Методом от противного. Допустим, что при фиксированном произвольном $(q)$ существует минимальное $x=3x_1$ (известно, что вне этого условия решений исходного уравнения не существует). После подстановки и сокращений получим $4x_1^4-3p_2^2=q_2^2$. Противоречий не наблюдается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение30.05.2019, 20:16 


26/08/11
2057
Я бы вам предложил доказать обратное (причем верное) утверждене: Для любого целого $x$ существуют целые $p,q$ такие что $q^2+3p^2=4x^4$
(в общем случае больше, чем одна пара).

Вообще, что вы делаете???
Сначала положили $y=2k+1$
Потом $2k+1=t$
Квадратное, видите ли, уравнение (из кубического, вот такой фокус). А то что $t$ и $k$ зависимы вас не смущает? Что $k=\dfrac{y-1}{2}$

Переливали из пустого в порожнее, чтобы получить простенькое $\frac{y-1}{2}(y^2+y+1)=x^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение30.05.2019, 21:20 


03/03/12
1380
Shadow в сообщении #1396723 писал(а):
Для любого целого $x$ существуют целые $p,q$ такие что $q^2+3p^2=4x^4$
(

Например, Вольфрам показывает для $x=2$ только решения, не входящие в рассматриваемую мной область
TR63 в сообщении #1396657 писал(а):
(Будем рассматривать случай $x^2\neq p\neq q$, $p\neq0$.)

Поэтому пока не вижу причин решать, предложенную Вами задачу. Возможно, Вы не поняли, что меня интересует именно эта область и $x=3m$, поскольку оставшаяся область тривиальна. Мне достаточно всего одного контрпримера, если он существует в интересующей меня области.
Shadow в сообщении #1396723 писал(а):
А то что $t$ и $k$ зависимы вас не смущает?


Смущает и смущало. Хороший вопрос. Тогда оставим исходную задачу в стороне. Тем не менее, меня интересует контрпример к моему уравнению. Исходная задача меня мало интересует. Лишь постольку, поскольку она явилась источником интересующего меня уравнения в указанной области при $x=3m$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение30.05.2019, 21:41 


26/08/11
2057
TR63 в сообщении #1396749 писал(а):
Например, Вольфрам показывает для $x=2$ только решения, не входящие в рассматриваемую мной область
Интересно, а что показывает вольфрам при $x=7$...или при $x=21$, если надо, чтобы $x$ делилось на 3

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение30.05.2019, 21:57 


03/03/12
1380
Shadow в сообщении #1396757 писал(а):
при $x=21$, если надо, чтобы $x$ делилось на 3

Теперь Вольфрам глючит. Ничего не показывает, не считает. Может, он не умеет такую задачу решать.
Если задавать (q), то всё считал исправно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение31.05.2019, 10:11 


26/08/11
2057
TR63 в сообщении #1396763 писал(а):
Теперь Вольфрам глючит
Значит мой Вольфрам лучше вашего. Те же самые решения, что и при $7$, только умноженные на $9$. Нормально?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение31.05.2019, 12:30 


03/03/12
1380
Shadow, не только Ваш Вольфрам лучше, но и технология перебора лучше. Я по моей технологии перебора не добралась до $q=126$. Спасибо за оказанную помощь.

Shadow в [url=http://dxdy.ru/post1396864.html#p1396864]сообщении
#1396864[/url]
писал(а):
Нормально?


Нормально. Далее у меня ещё есть вопрос, но он слишком альтернативный (не стоит заморачиваться).

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение01.06.2019, 08:00 


29/10/11
94
$x=0$ единственное решение. Доказать можно применив выражение $(a^2+2b^2)^3=c^2+2d^2$. Если не ошибся то$c=a(a^2-6b^2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение01.06.2019, 14:00 


26/08/11
2057
victor.l в сообщении #1396997 писал(а):
$c=a(a^2-6b^2)$.
Ну, это и есть $\operatorname{Re}\left((a+b\sqrt{-2})^3\right)$, о чем говорили в другой теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение03.06.2019, 20:38 


29/10/11
94
Поскольку дискриминант $-8$ фундаментальный, откуда следует что все произвольные нечетные простые числа которые соответствуют квадратичному вычету $-8$ имеют собственное представление формой $x^2+2y^2$ в произвольных степенях то никаких проблем с уравнением $x^2+2y^2=z^n$ для произвольного $n$ нет. Обсуждать тут нечего. А народ обсуждал $y^3=nx^2+1$ для некоторых других $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение03.06.2019, 21:02 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
victor.l в сообщении #1397544 писал(а):
Обсуждать тут нечего.
Почему же нечего? Например, каковы тройки натуральных чисел $(x,z,n)$, для которых $x^2+2=z^n$. Вполне содержательный вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение03.06.2019, 22:48 


29/10/11
94
Для четных степеней решения отсутствуют. Для куба получил одно решение в натуральных $5^2+2=3^3$ откуда следует что для $n=3m$ где $m>1$ решения отсутствуют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение03.06.2019, 23:49 


29/10/11
94
Для $n=5$ решения отсутствуют. А такое нашлось $3^5=1+2(11)^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение21.06.2019, 14:21 


03/03/12
1380
Замечание (к исходному уравнению).

Исходное уравнение $y^3=2x^2+1$ сводится известной заменой $y=3k+1=2m+1$, $k=\frac{2m}{3}=2m_1$, $x=3x_1$ к решению уравнения

$$m_1(12m_1^2+6m_1+1)=x_1^2$$

1). $12m_1^2+6m_1+1-u^2=0$

2). $12m_2^4+6m_2^2+1-u^2=0$

$u=4k\pm1$, $m_2=2m_3$

$$24m_3^4+3m_3^2-k(2k\pm1)=0$$

Решаем пару квадратных уравнений. Получаем второй дискриминант $D=p^2-12q_1^2=-1$(нет решений).

Т.е. уравнение $(2)$ решается элементарно (в лоб), если я не ошиблась в вычислениях. Можно и другим способом, но интересуют школьные плюс Вольфрам.

Вопрос: можно ли первое уравнение $12m_1^2+6m_1+1-u^2=0$ решить элементарным способом или каким-то другим.

Замечание к уравнению ($y^3=x^2+2$).

Мне это уравнение удалось только свести к решению уравнения $(8k+3)^3=8n+3$, $(k)$ нечётное, $(n)$ чётное. Далее, если элементарно, у меня не получается (решение посложнее мне известно). Но здесь есть заинтересовавшее меня наблюдение.

В левой части последняя цифра может принимать значения $(1,7,3,9,5)$. В правой-$(3,9,5,1,9)$. Т.е. наборы не совпадают и количество решений в целых положительных числах не более одного.

Вопрос: что будет относительно количества решений, если наборы совпадают.

Предположение: количество будет более одного, если одно уже имеется.

Эксперимент. $y^2=x^2+a$.

Наборы совпадают только (?) при $a=...5$ (т.е. последняя цифра должна быть "пять").

Гипотеза: уравнение (в целых положительных числах)$y^2=x^2+a$ при $y=2l+1$, $a=...5>5$ имеет более одного решения.

Вопрос: можно ли доказать или опровергнуть эту гипотезу (это только наблюдение, без технологии).

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение.
Сообщение23.06.2019, 08:41 


29/10/11
94
Автору темы повторно. Дискриминант -3 фундаментальный откуда следует что все простые числа вида $6n+1$ в произвольных степенях имеют собственное представление формой $x^2+xy+y^2$. А диофантово уравнение $x^2+xy+y^2=z^n$ при$ (x,y)=1$ имеет решения только тогда когда все простые числа канонического разложения числа $z$ это $6n+1$. Это условие является необходимым и достаточным и сколько представлений имеет число $z$ ровно столько будет иметь число $z^n$. Надо нужное тождество подобрать и все дела. Для $n=2$ напишу.$(a^2+ab+b^2)^2=c^2+cd+d^2$ где $c=a^2-b^2$ $d=2ab +b^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group