Выпуклость квадратичного конуса

[ewert]

Munin в сообщении #1395185 писал(а):

Если два луча, исходящие из одной точки, каждый лежит в выпуклом множестве,
то и весь плоский угол между ними тоже лежит в этом множестве

Или я чего-то не понял, или это какая-то ерунда. Любой луч лежит в выпуклом множестве, т.к. он сам по себе выпукл.

Munin в сообщении #1395185 писал(а):

Если 2-мерная фигура лежит в множестве, и данное множество выпукло,
то и вся выпуклая оболочка данной фигуры (она тоже 2-мерна) тоже лежит в этом множестве.

Естественно. Потому что (независимо от размерностей) выпуклая оболочка по определению есть наименьшее выпуклое объемлющее множество.

Munin в сообщении #1395185 писал(а):

можно ли полностью свести изучение выпуклости фигуры к изучению выпуклости её 2- ($n$-) мерных сечений?

Даже и одномерных хватит. А вот выгодно ли такое сведение -- вопрос другой. Обычно невыгодно.

Тут вот, скажем, предлагалось сводить всё к разным эллипсам/гиперболам. Так вот: даже не говоря о полном неприличии писать конкретные формулы без необходимости -- по какую сторону от гиперболы, скажем, мы попадём?... Это ведь тоже некоторая морока.

[Munin]

alcoholist в сообщении #1395191 писал(а):

Само определение выпуклости в ваших терминах -- это утверждение про 0-мерную фигуру "двоеточие"))

"Двоеточие" у меня 1-мерно, поскольку минимальная размерность евклидова пространства, в которое оно может быть изометрически вложено - это прямая. Говоря "2-мерная фигура", я подразумеваю, в том числе, плоскую замкнутую ломаную: речь не о её внутренней размерности, а о том, что она не выходит из плоскости.

-- 25.05.2019 15:14:36 --

ewert в сообщении #1395192 писал(а):

Или я чего-то не понял, или это какая-то ерунда. Любой луч лежит в выпуклом множестве, т.к. он сам по себе выпукл.

Извините, пропустил слово. В данном выпуклом множестве.

ewert в сообщении #1395192 писал(а):

А вот выгодно ли такое сведение -- вопрос другой. Обычно невыгодно.

У меня такой взгляд: если мы имеем несколько инструментов, это лучше, чем один. Может быть, они и не пригодятся. Но пусть будут.

ewert в сообщении #1395192 писал(а):

по какую сторону от гиперболы, скажем, мы попадём?... Это ведь тоже некоторая морока.

Да, тут "срезан угол": надо оговорить, что мы имеем одну ветку гиперболы, и тогда - попадаем в её выпуклую оболочку "полногиперболие".

[ewert]

Munin в сообщении #1395210 писал(а):

Да, тут "срезан угол": надо оговорить, что мы имеем одну ветку гиперболы,

Там не этот угол срезан, а другой. Что ветка одна -- само собой. А вот по какую сторону мы от этой ветки?...

Конечно, всем ежам всё понятно. Но мало ли что понятно ежам; формально это -- морока.

[Munin]

Если бы мы взяли обе ветки, то выпуклой оболочкой их была бы вся плоскость. А если одну ветку, то выпуклая оболочка ея определяется еёй однозначно.

Таки в чём вопрос-то?

[alcoholist]

Munin в сообщении #1395210 писал(а):

"Двоеточие" у меня 1-мерно, поскольку

Двоеточие является предельным множеством последовательности "чисто 2-мерных". А все неравенства у нас нестрогие.

[Munin]

alcoholist в сообщении #1395329 писал(а):

Двоеточие является предельным множеством последовательности "чисто 2-мерных".

Не только. Можно к нему и из 3-мерных устремиться, и из всевозможных $k$-мерных. Но предельных переходов мы просто не рассматриваем.

-- 26.05.2019 12:04:33 --

Я не улавливаю, к чему вы клоните.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1395365 писал(а):

к чему вы клоните

я к тому, что если условие подобного типа выполнено для $n$-мерных, то оно выполнено и для $(n-1)$-мерных.

-- Вс май 26, 2019 12:12:51 --

условия как в

Munin в сообщении #1395185 писал(а):