Пять точек на сфере

[alcoholist]

Читая работы по теме наткнулся на красивый результат Столярского (K. B. Stolarsky, Sums of Distances Between Points on a Sphere II, Proceedings of The American Mathematical Society. Vol. 41, No. 2 (1973), 575-582). Суть его в том, что сумма попарных расстояний между $n$ точками на $k$-мерной сфере $S^k\subset\mathbb{R}^{k+1}$ однозначно определяется "отклонением" расположения этих точек от равномерного.

Именно, если $P=\{\mathbf{a}_1,\cdots,\mathbf{a}_n\}$ -- набор точек на (единичной) $k$-мерной сфере в $\mathbb{R}^{k+1}$, $S(P)$ -- сумма попарных расстояний,

$$ Z(P,\mathbf{x},t)=\mathrm{card}\left\{\mathbf{a}\in P:(\mathbf{a},\mathbf{x})\ge t \right\}\quad - $$

число точек, попавших в "шапочку" высоты $1-t$, одетую на точку $\mathbf{x}$, $\sigma^*(t)$ -- нормализованная площадь этой шапочки (то есть ее доля в площади всей сферы), то

$$ S(P)+\int\limits_{-1}^1\left(\frac{1}{\sigma_k}\int\limits_{S^k}\Bigl(Z(P,\mathbf{x},t)-n\sigma^*(t)\Bigr)^2\mathrm{d}\sigma(\mathbf{x})\right)\mathrm{d}t=\frac{n^2d_k}{2}. $$

Здесь $\mathrm{d}\sigma(\mathbf{x})$ -- элемент площади, $\sigma_k$ -- площадь всей сферы,

$$ d_k=\frac{1}{\sigma_k}\int\limits_{S^k}|\mathbf{x}\mathbf{x}_0|\,\,\mathrm{d}\sigma(\mathbf{x})\quad - $$

среднее расстояние между двумя точками на сфере.

В случае $k=2$ (то есть для двумерной сферы в трехмерном пространстве) $d_k=4/3$ и мы немедленно получаем

$$ \frac{2n(n-1)}{3}\le S(P)\le\frac{2n^2}{3}. $$

В случае $n=5$ имеем $S(P)\le 16.(6)$ при том, что гипотетический (и "всеми признанный") максимум приблизительно равен $15.68$.