2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Об неоднозначности потенциальной энергии
Сообщение16.05.2019, 23:21 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Здравствуйте. Хотелось бы прояснить для себя следующий вопрос. Буду использовать более школьный подход.

Пусть тело $m$ свободно падает в постоянном поле тяжести напряженности $\vec{g}$ Земли с высоты $h_1$ до высоты $h_2$ (ось $h$ направляем вверх). Работы силы тяжести равна $A_{12}=mgh_1-mgh_2=-(U_2-U_1)$, где $U=mgh$ - потенциальная энергия тела $m$ в данном поле. Так как нас интересует изменение потенциальной энергии, то мы можем совершить переход $U\to U-U_0$, где $U_0=mgh_0$, тогда $U(h=h_0)=0$. На работу $A_{12}$ такой переход не влияет. Но с другой стороны, то же самое получится если просто выбрать другое начало отсчёта $h=0$ на оси $h$. Т.е. совершить переход $h\to h-h_0$. Понятно, что так можно сделать из-за линейного вхождения $h$ в $U$. Но я не до конца разделяю в своем понимания эти два перехода. В этом случае и там и там получается, что $h=h_0$ это значения высоты, на которой $U=0$.

Закрепим пружину так, что положение равновесия груза совпадает с $x=0$. Пусть теперь пружина свободно распрямляясь перемещает груз из координаты $x_1$ в координату $x_2$, совершает работу $A_{12}=\frac{kx_1^2}{2}-\frac{kx_2^2}{2}=-(U_2-U_1)$, где $U=\frac{kx^2}{2}$. Переход $U\to U-U_0$, где $U_0=\frac{kx_0^2}{2}$ сответствует тому, что $U(x=x_0)=0$ и работу $A_{12}$ не изменяет. Понятно, что переход $x\to x-x_0$ в формуле для $U=\frac{kx^2}{2}$ будет неправомерен, так как это выражение мы получили из закона Гука $F_x=-kx$, и значению $x=0$ соответствует значение равновесия (отсутствие силы).

Но в чем тогда смысл перехода $U\to U-U_0$ в случае с пружиной? В случае с тяготением, понятно, нет никакой выделеной точки $h$ и там переход $U\to U-U_0$ можно интерпретировать как просто изменение положения координаты $h$ на соответствующей оси, соответствующей нулевой потенциальной энергии.

Графически я пониманию различие переходов для $U$ и $h$ для пружинки (это потому что график зависимости проекции силы на перемещение от перемещения не есть горизонтальной линией, как в случае с $mg$), но что-то я путаюсь в попытке разложить это всё по полочкам.

-- 16 май 2019, 22:35 --

Ещё есть догадка, что переход для $U$ для пружинки означает, что мы закрепили последнюю так, что её положению равновесия соответствует $x=x_0$.

-- 16 май 2019, 22:37 --

Но если мы сделаем переход для $x$, то уже для силы в законе Гука положению равновесия будет соответствовать $x=x_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об неоднозначности потенциальной энергии
Сообщение16.05.2019, 23:37 


05/09/16
11468
Потенциальное поле не обязано быть однородным. Может, в этом загвоздка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об неоднозначности потенциальной энергии
Сообщение16.05.2019, 23:39 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
wrest, понимаю, "поле пружинки" неоднородно в отличие от гравитационного (в данном случае).

-- 16 май 2019, 22:46 --

misha.physics в сообщении #1393497 писал(а):
Но если мы сделаем переход для $x$, то уже для силы в законе Гука положению равновесия будет соответствовать $x=x_0$.

Ой, это я поторопился, это правильно, но и так понятно, если мы это проинтегрируем или подсчитаем площадь, то получим все правильно, как если бы сделали переход для $U$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об неоднозначности потенциальной энергии
Сообщение17.05.2019, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
misha.physics в сообщении #1393497 писал(а):
Но я не до конца разделяю в своем понимания эти два перехода.

А надо разделять. Переход с добавкой к энергии - позволяет больше вариантов, чем переход с выбором другой точки нулевой энергии.

Кроме того, именно он потом обобщается на калибровочную теорию, скажем, электромагнитного поля. (А потом и всех остальных.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Об неоднозначности потенциальной энергии
Сообщение17.05.2019, 01:39 


27/08/16
9426
misha.physics в сообщении #1393497 писал(а):
Но в чем тогда смысл перехода $U\to U-U_0$ в случае с пружиной?
Придумайте эксперимент, отличающий первый случай от второго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об неоднозначности потенциальной энергии
Сообщение17.05.2019, 01:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
wrest в сообщении #1393503 писал(а):
Потенциальное поле не обязано быть однородным. Может, в этом загвоздка?

Смысл не в неоднородности. Смысл в образе отображения $x\mapsto U(x).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Об неоднозначности потенциальной энергии
Сообщение17.05.2019, 06:59 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
А непонятно, что непонятно. Потенциальная энергия по определению задается равенством
$$\boldsymbol F=-\mathrm{grad}\, U$$
Это равенство инвариантно, от выбора систем координат не зависитОчевидно, она определена с точностью до добавления константы потому, что $\mathrm{grad}(const)=0$.

(Оффтоп)

Куда веселее когда потенциальная энергия оказывается многозначной функцией на конфигурационном пространстве (дифференциальная форма $Q_idq^i$ замкнута , но не точна)

 Профиль  
                  
 
 Re: Об неоднозначности потенциальной энергии
Сообщение17.05.2019, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
pogulyat_vyshel в сообщении #1393577 писал(а):
Куда веселее когда потенциальная энергия оказывается многозначной функцией на конфигурационном пространстве

И когда же это? Получается, что тогда можно сделать вечный двигатель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об неоднозначности потенциальной энергии
Сообщение17.05.2019, 11:59 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
pogulyat_vyshel в сообщении #1393577 писал(а):
Потенциальная энергия по определению задается равенством
$$\boldsymbol F=-\mathrm{grad}\, U$$
pogulyat_vyshel в сообщении #1393577 писал(а):
Куда веселее когда потенциальная энергия оказывается многозначной функцией на конфигурационном пространстве (дифференциальная форма $Q_idq^i$ замкнута , но не точна)
В физике потенциальную энергию принято определять только для консервативных сил (как вариант, если хочется вводить силу через потенциальную энергию - с явным запретом упомянутой выше многозначности). Поскольку раздел все-таки физический и ТС, по-видимому, интересует именно физика, давайте будем это учитывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об неоднозначности потенциальной энергии
Сообщение17.05.2019, 12:43 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
misha.physics

Первично вот это:

pogulyat_vyshel в сообщении #1393577 писал(а):
$$\boldsymbol F=-\mathrm{grad}\, U$$

pogulyat_vyshel в сообщении #1393577 писал(а):
$\mathrm{grad}(const)=0$


То есть можем произвольно выбрать уровень, который считать нулем потенциальной энергии.
А как это происходит для потенциалов различного вида - вторично.

1. если $U(x) = \alpha x + \operatorname{const}$
то для любого нулевого уровня (для любой $\operatorname{const}$) найдется ровно один $x_0$, при котором $U(x_0)=0$

2. если $U(x) = -\frac{\alpha}{x} + \operatorname{const}$,
то не для любой $\operatorname{const}$ найдется ровно один $x_0$, при котором $U(x_0)=0$, а только для положительных (выделенный случай: $\operatorname{const} = 0$, $x_0 = \infty$)
для отрицательных не найдется ни одного

3. если $U(x) = \alpha x^2 + \operatorname{const}$,
то в зависимости от $\operatorname{const}$ найдется один, два или ни одного $x$, при котором $U=0$

И ничего в этом страшного или странного нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об неоднозначности потенциальной энергии
Сообщение17.05.2019, 14:49 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
realeugene,
realeugene в сообщении #1393539 писал(а):
Придумайте эксперимент, отличающий первый случай от второго.

Придумал. Закрепим пружину так, что положению равновесия соответствует $x=0$, тогда $F_x=-kx$, $U=\frac{kx^2}{2}$, и переход $x\to x-x_0$ означает, что теперь $F_x=-k(x-x_0)$, т.е. $x=x_0$ - координата нового положения равновесия, значит переход $x\to x-x_0$ означает, что мы перезакрепляем пружину в новом месте.

Совершим переход $U\to U-U_0=\frac{kx^2}{2}-\frac{kx_0^2}{2}$, сила $F_x=-\frac{dU}{dx}=-kx$ не изменяется, т.е. пружину в новое место не переносим (в смысле её точку закрепления), но теперь у нас $U=0$ при $x=x_0$, а не при $x=0$ как раньше.

Наверное в случае с пружинкой мне думалось, что если в какой-то точке $x$ сила $F_x$ равна нулю, то в ней будет равна нулю и $U$. Хотя понятен бред, ведь в случае с $mgh$ сила ни в одной точке не равна нулю (она постоянна), но выбор нулевого уровня для $U$ мы делаем именно переходом для $U$, а не для $h$, просто здесь они совпадают.

Munin,
Munin в сообщении #1393525 писал(а):
А надо разделять. Переход с добавкой к энергии - позволяет больше вариантов, чем переход с выбором другой точки нулевой энергии.

А разве это не одно и то же? Ведь переход с добавкой к энергии это переход $U\to U-U_0$, а переход с выбором другой точки нулевой энергии это ведь тоже переход $U\to U-U_0$. Или в другом случае вы имели ввиду переход для $h$, но они совпадают или я что-то не так понял...

pogulyat_vyshel,
pogulyat_vyshel в сообщении #1393577 писал(а):
Это равенство инвариантно, от выбора систем координат не зависитОчевидно, она определена с точностью до добавления константы потому, что $\mathrm{grad}(const)=0$.

Я запутался. С одной стороны это равенство инвариантно относительно прибавления константы к $U$. С другой стороны оно не зависит от выбора системы координат. Под вторым я понимаю прибавления константы к $x$... С другой стороны, понимаю, что векторное равенство не зависит от системы координат...

EUgeneUS,
EUgeneUS в сообщении #1393600 писал(а):
Первично вот это:

pogulyat_vyshel в сообщении #1393577

писал(а):
$$\boldsymbol F=-\mathrm{grad}\, U$$

EUgeneUS в сообщении #1393600 писал(а):
То есть можем произвольно выбрать уровень, который считать нулем потенциальной энергии.
А как это происходит для потенциалов различного вида - вторично.

О, это мне как раз и помогло сформулировать начальные абзацы этого сообщения.
EUgeneUS в сообщении #1393600 писал(а):
2. если $U(x) = -\frac{\alpha}{x} + \operatorname{const}$,
то не для любой $\operatorname{const}$ найдется ровно один $x_0$, при котором $U(x_0)=0$, а только для положительных (выделенный случай: $\operatorname{const} = 0$, $x_0 = \infty$)
для отрицательных не найдется ни одного

Здесь под $x$ имеется ввиду расстояние, как, например, в гравитационном или электростатическом потенциале, да?

Спасибо всем!

 Профиль  
                  
 
 Re: Об неоднозначности потенциальной энергии
Сообщение17.05.2019, 14:56 


27/08/16
9426
misha.physics в сообщении #1393624 писал(а):
Придумал.
Не вижу описания эксперимента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об неоднозначности потенциальной энергии
Сообщение17.05.2019, 15:18 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
misha.physics в сообщении #1393624 писал(а):
Munin в сообщении #1393525

писал(а):
А надо разделять. Переход с добавкой к энергии - позволяет больше вариантов, чем переход с выбором другой точки нулевой энергии.

А разве это не одно и то же? Ведь переход с добавкой к энергии это переход $U\to U-U_0$, а переход с выбором другой точки нулевой энергии это ведь тоже переход $U\to U-U_0$. Или в другом случае вы имели ввиду переход для $h$, но они совпадают или я что-то не так понял...


Не одно и то же.
Как видно на примерах, (иногда) мы можем выбрать нулевой уровень $U$ так, что ему не будет соответствовать ни одна точка.
На той же пружинке:
обозначим точку равновесия $x_0$
выберем константу в $U$ следующим образом: $U(x) = k(x-x_0)^2 + m_e c^2$,
уравнение $U(x) = k(x-x_0)^2 + m_e c^2 = 0$ не имеет действительных корней,
а значит нет никакого $x$, где бы $U(x)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Об неоднозначности потенциальной энергии
Сообщение17.05.2019, 15:33 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
EUgeneUS, а, понял, т.е. просто прибавить постоянную к $U$ это одно, а прибавить такую постоянную чтобы существовала хотя бы одна точка пространства в которой $U=0$ это другое. Понятно, что второй случай частичный от первого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об неоднозначности потенциальной энергии
Сообщение17.05.2019, 17:04 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
realeugene, т.е. описать эксперимент, который будет отражать переход $U\to U-U_0$? Т.е эксперимент отличающий $U$ от $U-U_0$? Затрудняюсь, на эксперименте мы можем измерить разность потенциальных энергий. Или я неправильно понял задачу?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group