2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Ранг матрицы
Сообщение05.05.2019, 16:41 


07/10/15

2400
Есть блочная матрица следующего вида
$M=\begin{pmatrix}
A &  \alpha_1 A& \\
A &  \alpha_2 A& \\
 &   .... & \\
A & \alpha_n A & 
\end{pmatrix}$,
где $\alpha_1 ... \alpha_n $ - произвольные различные действительные положительные числа, $A$ - прямоугольная матрица.

Возникает очевидный вопрос, как соотносятся между собой ранги матриц $A$ и $M$.
Интуиция подсказывает, что $ rank(A) = rank(M) $, но хотелось бы иметь строгое доказательство. И верна ли эта догадка вообще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение05.05.2019, 17:23 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Andrey_Kireew в сообщении #1391148 писал(а):
И верна ли эта догадка вообще?
Пусть матрица $A$ --- это число $1$, а $n=2$. Чему равен ранг матрицы $M$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение05.05.2019, 17:23 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Видимо, у вас опечатка. Должно быть $\operatorname{rk}M=2\operatorname{rk} A$?

-- Вс май 05, 2019 18:28:35 --

В общем, гипотеза не верна. Она верна, если ранг матрицы $M/A$ (думаю, понятно, что имеется ввиду) равен 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение05.05.2019, 17:29 


07/10/15

2400
Если $\alpha_1 \ne \alpha_2$, а они не равны, то двум. И, что -получается $M$ имеет полный ранг?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение05.05.2019, 17:33 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Если $\alpha_2$ существует, то да, ранг 2. А что значит, что $M$ имеет полный ранг?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение05.05.2019, 17:37 


07/10/15

2400
Padawan в сообщении #1391153 писал(а):
Видимо, у вас опечатка. Должно быть $\operatorname{rk}M=2\operatorname{rk} A$?


да, так и есть

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение05.05.2019, 17:37 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Padawan в сообщении #1391160 писал(а):
А что значит, что $M$ имеет полный ранг?
Обычно это значит, что ранг матрицы совпадает с одним из размеров матрицы (числом строк или числом столбцов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение05.05.2019, 17:40 


07/10/15

2400
Padawan в сообщении #1391160 писал(а):
А что значит, что $M$ имеет полный ранг?


если M квадратная

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение05.05.2019, 17:40 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Вообще, $rank (A\otimes  B)=rank A rank B$, где $A\otimes B$ тензорное (или кронекеровское) произведение матриц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение05.05.2019, 17:46 


07/10/15

2400
Padawan, но тогда выходит $ rank(B)=2$, ведь у неё только 2 столбца.
Что, получается, всё таки $rank(M)=2\cdot rank(A)$?

-- 05.05.2019, 19:13 --

Padawan в сообщении #1391166 писал(а):
$rank (A\otimes  B)=rank A rank B$

а где можно найти эту формулу, чтобы на неё сослаться? есть наверное какой нибудь учебник?
справедлива ли она для произвольных матриц?
в сети я её нашел - но там сказано, что это для случая квадратных матриц, а как быть с общим случаем - понятно не совсем

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение05.05.2019, 18:37 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Вывести её, вывести. Ранг матрицы — размерность образа соотв. линейного оператора, кронекеровское произведение — тензорное произведение операторов.

В Кострикине—Манине если не найдётся, будет странно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение05.05.2019, 20:21 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
$\operatorname{im} (A\otimes B)=\operatorname{im} A\otimes\operatorname{im}B $. Попробуйте доказать эту формулу. Из неё следует формула для рангов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение05.05.2019, 23:10 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Andrey_Kireew в сообщении #1391169 писал(а):
справедлива ли она для произвольных матриц?
в сети я её нашел - но там сказано, что это для случая квадратных матриц, а как быть с общим случаем - понятно не совсем
Справедливо и в общем случае.

Вот план доказательства (пригодный даже в том случае, если Вы не знаете, что такое тензорное произведение пространств или операторов).

Через $A\times B$ будем обозначать кронекеровское произведение матриц $A$ и $B$. Т.е.
$$ A\times B \ = \ \begin{pmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \ldots & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & \ldots & a_{2n}B \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{m1}B & a_{m2}B & \ldots & a_{mn}B \end{pmatrix}. $$
Лучше бы писать не $\times$, а "$\times$ с точкой", но в смысле обычного умножения матриц символ $\times$ употреблять не будем, поэтому, надеюсь, путаницы не возникнет.

(Кронекеровское произведение матриц отвечает тензорному произведению операторов, но это нам, строго говоря, не нужно. )

(продолжение следует)

-- 05.05.2019, 22:22 --

1) Докажите (непосредственными вычислениями с матрицами), что если $A_1$, $A_2$, $B_1$, и $B_2$ --- матрицы размеров $m_A\times n_A$, $n_A\times p_A$, $m_B\times n_B$ и $n_B\times p_B$ соответственно, то $(A_1\times B_1) (A_2\times B_2)= A_1A_2 \times B_1B_2$.
(Заметим, что размеры матриц $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ подобраны так, чтобы произведения $A_1A_2$ и $B_1B_2$ были определены).

2) Выведите отсюда, что если $A$ и $B$ --- обратимые квадратные матрицы, размеров $m$ и $n$ соответственно, то $A\times B$ --- тоже обратимая квадратная матрица (размера $mn$).

(продолжение следует)

-- 05.05.2019, 22:36 --

3) Вспомните, что ранг матрицы не меняется, если умножить ее справа или слева на невырожденную квадратную матрицу (соответствующего размера)

4) Докажите, что для любой прямоугольной матрицы $A$ существуют невырожденные квадратные матрицы $B$, $C$ такие, что $BAC$ --- диагональная.

5) Докажите соотношение $\operatorname{rk} (A\times B)= \operatorname{rk}(A)\operatorname{rk}(B)$ для диагональных матриц.

6) Используя результаты предыдущих задач, докажите это соотношение в общем случае.

-- 05.05.2019, 22:45 --

arseniiv в сообщении #1391177 писал(а):
В Кострикине—Манине если не найдётся, будет странно.

Нет, в Кострикин-Манине этого, строго говоря, нет. Конечно, если человек сдюжил четвертую главу КМ изучить, то он этот факт докажет. Но ТС, возможно, не сдюжит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение06.05.2019, 00:16 


07/10/15

2400
Спасибо vpb, выглядит убедительно. Буду разбираться

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение06.05.2019, 05:51 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Padawan в сообщении #1391213 писал(а):
$\operatorname{im} (A\otimes B)=\operatorname{im} A\otimes\operatorname{im}B $

И левая и правая часть есть линейная оболочка одного и того же множества векторов $(A\otimes B)(u\otimes v)=Au\otimes Bv$. Вот и все доказательство.
Плюс учтите, что размерность тензорного произведения равна произведению размерностей сомножителей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group