2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение09.05.2019, 01:57 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Простите, а что такое $rank(\bold J)$ ? Ведь теперь, когда все $J_i$ разные, такой матрицы, как $J$, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение09.05.2019, 02:07 


07/10/15

2400
Я же писал, можно принять ранги всех этих матриц одинаковыми, равными числу их строк, тогда для краткости можно писать $$rank(\bold J)$ $.

-- 09.05.2019, 03:08 --

Тем не менее спасибо, кажется с Вашей помощью я дошел до истины.

-- 09.05.2019, 03:12 --

В итого предложенных Вами преобразований мы получаем "шахматную" матрицу
$$\begin{pmatrix}
 A_1 &  0\\
 0 & A_2\\
......\\
 0 & A_q & 
\end{pmatrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение09.05.2019, 02:15 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
А можно ещё спросить, у Вас в одном блоке чего больше — строк или столбцов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение09.05.2019, 02:17 


07/10/15

2400
Хоть $A_i$ прямоугольная, хоть квадратная - её можно свести к единичной, умножая слева и справа на соответствующие наборы векторов (ранг при этом не меняется). И она приводится к виду

$$\begin{pmatrix} \bold 1 & 0\\ 0 & \bold 1\\ ......\\ 0 & \bold 1 & \end{pmatrix}$$

-- 09.05.2019, 03:18 --

svv в сообщении #1391913 писал(а):
А можно ещё спросить, у Вас в одном блоке чего больше — строк или столбцов?


конечно столбцов, а как иначе то?

-- 09.05.2019, 03:21 --

Ну и приходим к главному - если ранги всех $ \bold J $ равны (видимо от этой предпосылки никуда не деться), то все строки, кроме первых двух обновляются, и получается $rank(\bold J_0)=2\cdot rank(\bold J)$ - и это верхняя оценка.

Всё правильно, или есть какие то ошибки в рассуждениях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение09.05.2019, 02:29 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Вот пример, когда ранг больше. Здесь каждый блок размера $1\times 2$.
$\begin{tabular}{|cc|cc|}\hline 1 & 2 & 2& 4 \\\hline 3 & 5 & 9 & 15 \\\hline 5& 8 & 20 & 32 \\\hline\end{tabular}$
Ранг каждого блока $1$, тогда ранг всей матрицы должен быть $2$, но он $3$.

Да хоть и 4:
$\begin{tabular}{|cc|cc|}\hline 1 & 2 & 2& 4 \\\hline 3 & 5 & 9 & 15 \\\hline 5& 8 & 20 & 32 \\\hline 8& 11 & 40 & 55 \\\hline\end{tabular}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение09.05.2019, 02:45 


07/10/15

2400
Все верно, ранг 3. Сейчас проверил - обнулить никак не получается

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение09.05.2019, 02:47 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Я буду уже отключаться, а то у нас 2.45 ночи. Надеюсь, не сильно Вас расстроил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение09.05.2019, 02:49 


07/10/15

2400
Всего Вам доброго, спасибо за помощь!

... значит на $\bold J$ должны быть наложены дополнительные ограничения. Но какие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение09.05.2019, 02:51 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Я подумаю. Спокойной ночи!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение09.05.2019, 20:29 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Ну, в общем, подведу итог. В отличие от предыдущей задачи, где ранг $J_0$ определялся рангом блока, здесь возможны варианты.

Пусть блок имеет размеры $m\times n$, причём $m\leqslant n$.
Пусть блочных строк $q$, блочных столбцов $2$, причём $q\geqslant 2$.
Пусть все коэффициенты $k_i$ различны.
Составим список блоков первого блочного столбца, отсортированный по убыванию ранга. Пусть $r_1, r_2$ — ранги двух верхних блоков в этом списке (они могут и совпадать, так как максимальный ранг могут иметь несколько блоков). Тогда
$r_1+r_2 \leqslant\operatorname{rank}J_0\leqslant \min(mq, 2n)$

Если гарантируется, что блоки полного ранга ($m$ — число строк в блоке), то
$2m \leqslant\operatorname{rank}J_0\leqslant \min(mq, 2n)$

Можно привести явные примеры матриц $J_0$, ранг которых принимает минимально возможное и максимально возможное согласно оценке значение, и в этом смысле оценка неулучшаемая.
Пусть, например, $m=1$ (блок состоит из одной строки) и $q=2n$ (вся матрица квадратная):
$\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0&1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0&0&2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1&0&0&\cdots&n\\1&0&\cdots&0&n+1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0&0&n+2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1&0&0&\cdots&2n\end{bmatrix}$
Тут ранг равен $\min(mq, 2n)=q=2n$.

А вот в таком случае (тоже $m=1$ и $q=2n$) ранг равен $2m=2$:
$\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0&1&0&\cdots&0\\1&0&\cdots&0&2&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&\cdots&0&n&0&\cdots&0\\1&0&\cdots&0&n+1&0&\cdots&0\\1&0&\cdots&0&n+2&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&\cdots&0&2n&0&\cdots&0\end{bmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы
Сообщение09.05.2019, 21:00 


07/10/15

2400
Действительно, после последующих численных экспериментов выяснилось, что ранг может быть и больше, чем $2rank(\bold J)$. Чуда, как говориться, не произошло. Очередной провал ...
Всё равно спасибо Вам svv за то, что уделили мне так много времени.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group