2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неясный момент (теория групп)
Сообщение09.04.2019, 09:04 


03/04/14
303
Такие обозначения:
$G$ - группа, $F, H \leq G$, $H \unlhd G$
$FH = \{gh | g \in F, h \in H \}$
$\pi: G \to G/H$

Вот этот момент не яснен (из лекции):
$FH = \bigcup\limits_{f \in F}{fH} = \bigcup\limits \pi^{-1}(\pi(f)) = \pi^{-1}(\pi(F))$

Каким образом имеет место вот это равенство $\bigcup\limits_{f \in F}{fH} = \bigcup\limits \pi^{-1}(\pi(f))$ ?
Тут $\pi(f) = fH$, а $\pi^{-1}(fH) = f$, и получится, что $\bigcup\limits \pi^{-1}(\pi(f)) = \bigcup\limits_{f \in F}{f}$, а куда тогда $H$ потеряли?
Или типа мы каждый элемент множетсва $fH$ в аргументе к $\pi^{-1}$ расцениваем как представителя тоже смежного класса по $H$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неясный момент (теория групп)
Сообщение09.04.2019, 11:26 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Когда есть какое-то отображение $\varphi\colon X\longrightarrow Y$, то для элемента $y\in Y$ выражение $\varphi^{-1}(y)$ --- это полный прообраз, т.е. некоторое подмножество в $X$. Читайте книжки, а не только смотрите лекции. Скажем Кострикин, Введение в алгебру, начало (гл.1). Это во-первых.

А в данном случае есть еще путаница потому, что выражение $fH$ можно понимать в двух смыслах: или как элемент из $G/H$, или как подмножество (смежный класс по $H$) из $G$. В этом смысле, $\pi^{-1}(fH)=fH$. Слева элемент, справа подмножество. Это известное скользкое (в смысле обозначений) место. Ну вот так принято. Можете посмотреть еще ван дер Вардена "Алгебра", гл.2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неясный момент (теория групп)
Сообщение09.04.2019, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я что-то не пойму, а что тут "скользкого"? Элементы $G/H$ ведь и есть подмножества $G$ (смежные классы), просто по определению. (Но не в обратную сторону, не любое подмножество $G$ есть элемент $G/H.$) В этом смысле, $\pi^{-1}$ как "полный прообраз" - просто тождественное отображение этих некоторых подмножеств на сами себя. В формуле $\pi^{-1}(fH)=fH$ и слева и справа подмножества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неясный момент (теория групп)
Сообщение09.04.2019, 15:21 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Munin в сообщении #1386754 писал(а):
Я что-то не пойму, а что тут "скользкого"? Элементы $G/H$ ведь и есть подмножества $G$ (смежные классы), просто по определению. (Но не в обратную сторону, не любое подмножество $G$ есть элемент $G/H.$) В этом смысле, $\pi^{-1}$ как "полный прообраз" - просто тождественное отображение этих некоторых подмножеств на сами себя. В формуле $\pi^{-1}(fH)=fH$ и слева и справа подмножества.
Я думаю, такое объяснение только обратно запутает ТС. Рациональное зерно тут --- что подмножество одного множества может рассматриваться как элемент в другом (что в общем-то дело обычное). А что это скользкое место --- известно из практики.
Скользкое тут --- что разные сущности обозначаются одним символом. Или, если смотреть по другому, на одну и ту же сущность в правой и левой частях равенства смотрят с разных сторон, не оговаривая этого достаточно. Вот и ТС поскользнулся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неясный момент (теория групп)
Сообщение09.04.2019, 16:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну, мне кажется, если всё аккуратненько нарисовать на бумаге, то распутаться можно. Ладно, молчу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неясный момент (теория групп)
Сообщение11.04.2019, 11:27 


03/04/14
303
vpb в сообщении #1386723 писал(а):
А в данном случае есть еще путаница потому, что выражение $fH$ можно понимать в двух смыслах: или как элемент из $G/H$, или как подмножество (смежный класс по $H$) из $G$. В этом смысле, $\pi^{-1}(fH)=fH$. Слева элемент, справа подмножество.
Да, вот это и путало.

Munin в сообщении #1386754 писал(а):
Я что-то не пойму, а что тут "скользкого"? Элементы $G/H$ ведь и есть подмножества $G$ (смежные классы), просто по определению.

Смущало то, что $fH$ в $\pi^{-1}(fH)$ это нужно понимать именно элемент, а не множество. То есть если есть $f: A \to B$, где $A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ и $B = \{b_1, b_2, \dots, b_m\}$. Дальше можно записать такое $f^{-1}(b_i)$, а можно такое $f^{-1}(B)$. В первом случае это прообраз элемента, а во-втором, прообраз множества.
В случае же с $\pi: G \to G/H$ в $\pi^{-1}(fH)$ смежный класс $fH$ нужно понимать как элемент $G/H$.
Ну да, вообще тут это и так ясно просто исходя из определения $\pi$, откуда элементы множества $G/H$ это множества, а не элементы $G$.
Поэтому в формуле $\pi^{-1}(fH) = fH$ слева элемент $G/H$, а справа подмножество $G$.

Но мне еще не было ясно почему $\pi^{-1}(fH) = fH$. Понятно что, если взять все элементы множества $fH = \{fe, fh_1, fh_2, \dots, fh_n\}$, то $\pi(fH) = \{feH, fh_1H, fh_2H, \dots, fh_nH\} = \{fH, fH, fH, \dots, fH\}$. Тогда понятно, что $fH \in \pi^{-1}(fH)$. Но почему $fH$ это полный прообраз и не может быть какого-то $g \notin fH : fH = gH$?

А, ну получается, если предположить, что $\exists g \notin fH : fH = gH$, тогда $g^{-1}fH = H$, то есть $g^{-1}fH = \{g^{-1}fe, g^{-1}fh_1, g^{-1}fh_2, \dots, g^{-1}fh_n\} = \{e, h_1, h_2, \dots, h_n \} = H$. Но так как $g \neq f$, то $g^{-1}fe \neq e$ и так как $g \notin fH$, то $g \neq fh_i$, для любого $h_i \in H$, следовательно $g^{-1}fh_i \neq e$. И значит нет такого $g$.
Получается, что смежный класс $fH = gH$, только когда $g \in fH$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неясный момент (теория групп)
Сообщение11.04.2019, 14:20 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
bayah в сообщении #1387041 писал(а):
Получается, что смежный класс $fH = gH$, только когда $g \in fH$?
Да, конечно, причем для произвольной (не обязательно нормальной) подгруппы $H$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неясный момент (теория групп)
Сообщение12.04.2019, 11:18 


03/04/14
303
vpb
Спасибо.

(Оффтоп)

Опять я неверно процитировал там выше - цитировал вас, а ткнул на другое сообщение).
 i  Pphantom:
Поправлено.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group