2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отношение средних значений.
Сообщение25.03.2019, 11:34 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
В теме "Оценить значение выражения" рассматриваются оценки отношения обобщенных средних: $R=\dfrac {M_p}{M_q}, M_p=\left (\frac 1n\sum \limits _{i=1}^{n}x_i^p\right )^{\frac 1p},M_q=\left (\frac 1n\sum \limits _{i=1}^{n}x_i^q\right )^{\frac 1q}. $
Доказать, что при $p>q\geq 1, R<n^{\frac 1q-\frac 1p}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение средних значений.
Сообщение28.03.2019, 09:27 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
mihiv в сообщении #1384002 писал(а):
В теме "Оценить значение выражения" рассматриваются оценки отношения обобщенных средних: $R=\dfrac {M_p}{M_q}, M_p=\left (\frac 1n\sum \limits _{i=1}^{n}x_i^p\right )^{\frac 1p},M_q=\left (\frac 1n\sum \limits _{i=1}^{n}x_i^q\right )^{\frac 1q}. $
Доказать, что при $p>q\geq 1, R<n^{\frac 1q-\frac 1p}$.

Должно быть $x_i>0$, иначе это просто неверно.

Пусть $x_i^q=a_i$ и $\frac{p}{q}=k.$
Тогда нам нужно доказать, что
$$a_1^k+a_2^k+...+a_n^k<(a_1+a_2+...+a_n)^k,$$ что следует из неравенства Караматы.
Действительно, функция $f(x)=x^k$ выпуклая и пусть $a_1\geq a_2\geq...\geq a_n.$
Тогда так как $$(a_1+a_2+...+a_n,0,...,0)\succ(a_1,a_2,...,a_n),$$
получаем:
$$f(a_1+a_2+...+a_n)+f(0)+...+f(0)\geq f(a_1)+f(a_2)+...+f(a_n),$$ а это вточности, что мы должны доказать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group