2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 08:43 


03/04/14
303
Сейчас, что-то тривиальное спрошу и вы отправите меня разбираться с комплексными числами.

Цитата:
Корни $n$-й степени из единицы — комплексные корни многочлена $x^n-1$, где $n\geqslant 1$. Другими словами, это комплексные числа, $n$-я степень которых равна $1$.


Рассмотрим случай $n = 3$.
Должно выполняться $(a+bi)^3 = 1$.
$(a+bi)^3 = a^3 + 3a^2b^2i^2 + b^3i^3 = a^3 - 3a^2b^2 - b^3i = 1$
Ну чтобы это выполнялось нужно чтобы не было никаких $i$, значит $b = 0$.
Тогда $a^3 = 1$.
$a = 1$

В чем ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 08:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
bayah в сообщении #1383765 писал(а):
отправите меня разбираться с комплексными числами.

По-моему тут надо разбираться с арифметикой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 09:26 
Аватара пользователя


24/03/19
147
"Тоже мне, бином Ньютона:" (с)
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2+b^3.$
В вашем случае
$(a+ib)^3 = a^3+(3a^2b)i-3ab^2-b^3i = a^3-3ab^2+(3a^2b-b^3)i.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 10:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
bayah в сообщении #1383765 писал(а):
В чем ошибка?


В разложении бинома, очевидно. У Вас второе слагаемое почему-то четвёртой степени и без i, а третьего и вовсе нет (есть последнее, четвёртое)

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 10:52 
Аватара пользователя


22/07/08
1373
Предместья
bayah в сообщении #1383765 писал(а):
В чем ошибка?

В разложении куба суммы...
Среднее из трех слагаемых в вашей формуле не правильное...
а четвертое вообще потеряно.

(Оффтоп)

В полном соответствии с классическим анекдотом про два титановых шарика:
"Один сломал, другой потерял!" :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 11:04 


03/04/14
303
Dan B-Yallay в сообщении #1383767 писал(а):
По-моему тут надо разбираться с арифметикой.

SiberianSemion в сообщении #1383770 писал(а):
"Тоже мне, бином Ньютона:" (с)

Евгений Машеров в сообщении #1383775 писал(а):
В разложении бинома, очевидно.

Лукомор в сообщении #1383780 писал(а):
В разложении куба суммы...


Даа... автор поста похоже вообще в школе не учился! :mrgreen:
(Не буду рассказывать как так получилось)

$(a+bi)^3 = a^3 + 3a^2bi +2ab^2i^2 + b^3i^3 = (a^3 - 3ab^2) + (3a^2 - b^2)bi = 1$
Должно выполняться:
$(3a^2 - b^2)bi = 0$
Если $b = 0$, $a^3 = 1$ и следовательно первый корень $a = 1, b = 0$.
Если $b \neq 0$, то $(3a^2 - b^2) = 0$ и осташваяся часть $(a^3 - 3ab^2) = 1$. Получим систему:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 3a^2 - b^2=0 \\
 a^3 - 3ab^2=1 \\
\end{array}
\right.$$
Из первого $b^2 = 3a^2$ подставим во второе:
$a^3 - 9a^3 = -8a^3 = 1$

Получаем второй корень: $a = -\frac{1}{2}$, $b = \sqrt{3}a = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Так, а должно быть три корня.
Ну тут понятно что третий корень это $a = -\frac{1}{2}$ и $b = \frac{1}{2}\sqrt{3}$, но из каких это соображений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 11:18 


22/06/09
975
bayah в сообщении #1383782 писал(а):
Получаем второй корень

А как вы получили его (не получив одновременно и третий) из $a=-\frac{1}{2},\,3a^2-b^2=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 11:47 


03/04/14
303
Dragon27 в сообщении #1383783 писал(а):
А как вы получили его (не получив одновременно и третий) из $a=-\frac{1}{2},\,3a^2-b^2=0$?

А да, там же квадратное уравнение для значения $b$.
Спасибо)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group