2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ударные волны и обобщённые решения
Сообщение10.03.2019, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Здравствуйте!
Насколько я знаю (хотя до сих пор не интересовался этой темой совсем), исторически появление понятия обобщённого решения уравнений с частными производными было мотивировано изучением ударных волн в гидроаэродинамике.
Ну, во всяком случае, это была одна из предпосылок.
Потому что классические решения не могут быть разрывными просто по определению, а тут оказывается, что именно разрывные решения имеют физический смысл, и нужно понять, какие именно.
Наверняка эти вопросы связаны с изучением явления волнового кризиса, когда самолёт терпит крушение при достижении сверхзвуковых скоростей.

Собственно, прошу посоветовать какую-нибудь максимально элементарную литературу, где обсуждались бы эти вопросы.

Больше всего интересует, для начала, взглянуть на один конкретный пример уравнения с частными производными, с указанием физического смысла всех входящих в него величин и описывающего ударную волну или что-то в этом роде, и чтобы было показано, что физический смысл имеет разрывное обобщённое решение этого уравнения. Совсем замечательно, если это будет как-то привязано к явлению волнового кризиса или чему-то подобному. Впрочем, математическая модель может быть сколь угодно упрощенной и "учебной".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ударные волны и обобщённые решения
Сообщение10.03.2019, 16:33 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Наверное, подойдет совершенно любой учебник по гидродинамике (механике жидкости и газа), даже трудно сказать, какой лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ударные волны и обобщённые решения
Сообщение10.03.2019, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Начните с одномерного невязкого Бюргерса $u_t + (u^2/2)_x=0$. Мы его обсуждали многократно
http://dxdy.ru/post1047531.html Правда "физика" не обсуждается, но математика на элементарном уровне. Что значит элементарном? Середина прошлого (20го) столетия

 Профиль  
                  
 
 Re: Ударные волны и обобщённые решения
Сообщение10.03.2019, 21:30 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Где-то по сети гуляет мехматовская методичка Комеча по уравнениям матфизики. Еще есть лекции Кружкова, но есть ли они в электронном виде это вопрос.

-- 10.03.2019, 22:33 --

Pphantom в сообщении #1380963 писал(а):
Наверное, подойдет совершенно любой учебник по гидродинамике (механике жидкости и газа), даже трудно сказать, какой лучше.

таки прямо любой? Неужели у ландафшица обобщенные решения обсуждаются? :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ударные волны и обобщённые решения
Сообщение10.03.2019, 21:52 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
pogulyat_vyshel в сообщении #1381023 писал(а):
таки прямо любой? Неужели у ландафшица обобщенные решения обсуждаются?
Кхм... да, действительно. Я настолько привык к тому, что это совершенно общее место, что как-то и не вспомнил, что у Л&Л его нет (ну, какие-то наметки есть, но не доведенные до конца).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ударные волны и обобщённые решения
Сообщение10.03.2019, 21:58 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
А я вот как-то не могу вспомнить учебник по гидро или газовой динамике, где это есть. Кроме Темама если только

 Профиль  
                  
 
 Re: Ударные волны и обобщённые решения
Сообщение10.03.2019, 22:18 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
pogulyat_vyshel в сообщении #1381035 писал(а):
А я вот как-то не могу вспомнить учебник по гидро или газовой динамике, где это есть. Кроме Темама если только
Ну, тут надо копаться, под руками ничего подходящего нет, но вроде это действительно стандартно. Было у Годунова, у Зельдовича/Райзера, кажется, у Станюковича...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ударные волны и обобщённые решения
Сообщение10.03.2019, 23:36 
Аватара пользователя


15/12/18

621
Москва Зябликово
Pphantom в сообщении #1381043 писал(а):
Было у Годунова, у Зельдовича/Райзера, кажется, у Станюковича...

Да.
И ещё:
Зельдович Я. Б. Теория ударных волн и введение в газодинамику.
И книга Зельдович Я. Б., Компанеец А. С. Теория детонации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ударные волны и обобщённые решения
Сообщение11.03.2019, 04:16 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
У Годунова это может быть. У Зельдовича -- нет. Надо всетаки понимать, что между понятием "ударная волна" в классической (в математическом смысле) физике и понятием "обобщенное решение дифференциального уравнения" -- пропасть, и не думать, что это одно и тоже. Решения с ударными волнами это обобщенные решения, но математический аппарат и идеология совершенно различны в крассической физике и в урчп с обобщенными решениями.
Зельдовича я не нашел, но что-то я сомневаюсь, что там вообще обсуждаются вопросы, требующие знания интеграла Лебега

 Профиль  
                  
 
 Re: Ударные волны и обобщённые решения
Сообщение11.03.2019, 07:48 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Mikhail_K
Л.В. Овсянников "Лекции по основам газовой динамики" - думается, самое то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ударные волны и обобщённые решения
Сообщение12.03.2019, 08:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ударные волны и обобщённые решения
Сообщение14.05.2019, 09:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Прочитал параграф "Ударные звуковые волны и излучение Вавилова-Черенкова" в методичке Комеча "Практическое решение уравнений математической физики".
Там рассматривается обычное линейное волновое уравнение $u_{tt}=a^2\Delta u$.
Очень хотел бы разобраться сначала с ним, перед тем как рассматривать нелинейные.
Говорится, что этому уравнению удовлетворяет давление воздуха при описании распространения звука в среде, а также потенциалы электромагнитного поля.
Далее, утверждается, что если источник звука/света движется со скоростью меньшей, чем скорость звука / скорость света в данной среде, то получается непрерывное решение искомого типа.
А если со сверхзвуковой / превышающей скорость света в данной среде, то решение получается разрывным, с разрывом вдоль конуса Маха, что означает ударную звуковую волну / излучение Вавилова-Черенкова.

Очень хочется разобраться подробнее!
В методичке Комеча это рассказывается в терминах характеристик, а я хочу в терминах обобщённых решений и обобщённых функций.
В частности, как вообще описать движущийся точечный источник? Правильно ли я понимаю, что нужно написать уравнение типа $u_{tt}-a^2\Delta u=\delta(x-vt)$? Можно ли получить явную формулу для решения, непрерывного при $v<a$ и разрывного при $v>a$, записав свёртку такой правой части с фундаментальным решением волнового оператора? Где-нибудь это делается? (К сожалению, в данный момент я недостаточно уверенно владею операциями над обобщёнными функциями, чтобы попытаться это сделать самостоятельно.) В учебной литературе, которую я видел, рассматриваются только правые части вида $f(x,t)+u_0(x)\delta^\prime(t)+u_1(x)\delta(t)$, а не такого вида как я предположил выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ударные волны и обобщённые решения
Сообщение14.05.2019, 11:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Mikhail_K в сообщении #1392902 писал(а):
В методичке Комеча это рассказывается в терминах характеристик, а я хочу в терминах обобщённых решений и обобщённых функций.
Цитата:
Я это сделал не в интересах истины, а в интересах правды
.
Прежде всего, зачем нужны характеристики (исключая метод характеристик, изучаемый в начале курса УЧП)? Для линейных уравнений вдоль характеристик распространяются осцилляции быстро осциллирующих решений и разрывы разрывных (или негладкости негладких). Для линейных уравнений с гладкими коэффициентами никакой принципиальной разницы между разрывами 110х производных и охренительной сингулярностью обобщенного решения нет--равно как и нет термина "ударная волна". Полулинейных уравнений (напр. $u_{tt}-c^2 \Delta u=f(u)$ там есть очень специфические заморочки для негладких решений, но и там нормальные люди не говорят об ударных волнах, которые появляются только для квазилинейных и нелинейных).

Что касается Вашего примера, то формулы для решения задачи Коши имеются--и все в порядке. Более того, если нет начальных условий, то можно найти решение вида $u= C\varphi (x-\mathbf{v}t)$––исключая случай $|\mathbf{v}|=c$ (и то только в случае одной пространственной переменной). Но тут и проявляется разница: при $|\mathbf{v}|<c$ для $\varphi$ будет эллиптическое уравнение, а при $|\mathbf{v}|>c$ гиперболическое. А если взять переменную $\mathbf{v}(x)$ то соответствующее стационарное уравнение будет переменного (или смешанного) типа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ударные волны и обобщённые решения
Сообщение15.05.2019, 07:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Red_Herring в сообщении #1392908 писал(а):
Что касается Вашего примера, то формулы для решения задачи Коши имеются--и все в порядке. Более того, если нет начальных условий, то можно найти решение вида $u= C\varphi (x-\mathbf{v}t)$––исключая случай $|\mathbf{v}|=c$ (и то только в случае одной пространственной переменной). Но тут и проявляется разница: при $|\mathbf{v}|<c$ для $\varphi$ будет эллиптическое уравнение, а при $|\mathbf{v}|>c$ гиперболическое. А если взять переменную $\mathbf{v}(x)$ то соответствующее стационарное уравнение будет переменного (или смешанного) типа.
Да, разобрался. Спасибо.
Red_Herring в сообщении #1392908 писал(а):
Для линейных уравнений вдоль характеристик распространяются осцилляции быстро осциллирующих решений и разрывы разрывных (или негладкости негладких).
С этим утверждением я также знаком.
Red_Herring в сообщении #1392908 писал(а):
Для линейных уравнений с гладкими коэффициентами никакой принципиальной разницы между разрывами 110х производных и охренительной сингулярностью обобщенного решения нет
Пожалуйста поясните, что Вы имеете в виду под "принципиальной разницей", которой нет для линейных уравнений с гладкими коэффициентами и которая есть для нелинейных.
Red_Herring в сообщении #1392908 писал(а):
равно как и нет термина "ударная волна"
Что же такое ударная волна?
До сих пор я понимал так, что это "поверхность сильного разрыва, перемещающаяся по среде".
И как минимум Комеч применяет это понятие и к разрывным решениям линейного волнового уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ударные волны и обобщённые решения
Сообщение15.05.2019, 13:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Чисто в качестве справочного материала, чтобы он был доступен, напомню про
Полянин. Справочник по линейным уравнениям математической физики. (2001)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group