Биекция между словами и матрицами

[situs]

Someone в сообщении #1379598 писал(а):

Однозначно понятно, что если алфавит содержит $n$ символов, то слово должно содержать $2n$ символов, каждый по два раза.

Да, так.

Someone в сообщении #1379598 писал(а):

Например, в алфавите $A_1=\{a\}$ из одной буквы возможно только слово $aa$. Оно допустимо по вашим правилам или нет?

Допустимо.

Someone в сообщении #1379598 писал(а):

В алфавите $A=\{a,b\}$ из двух букв можно составить $6$ слов: $aabb$, $abab$, $abba$, $baab$, $baba$, $bbaa$. Какие из них допустимы?

$aabb, abab, abba$.

Допустимы слова с точностью до переименования букв и циклического сдвига. Поэтому, например $baba$ равно $abab$.

Someone в сообщении #1379598 писал(а):

С отношением дружественности неясностей больше.

Буквы $x$ и $y$ дружат тогда и только тогда, когда они расположены в слове в таком порядке - $\dots x \dots y \dots x \dots y \dots$

[alcoholist]

situs в сообщении #1379601 писал(а):

Допустимы слова с точностью до переименования букв и циклического сдвига.

Бессмысленная фраза.
Вы не на все вопросы ответили. Да и лучше не на вопросы отвечать (они наводящие), а определить допустимые слова.
Например: слово длины $2n$ (или просто четной длины?) в алфавите $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ называется допустимым, если
а) Каждая буква входит в слово ровно два раза
б) ?
в) ?
и т.д.

-- Вс мар 03, 2019 17:24:43 --

situs в сообщении #1379601 писал(а):

когда они расположены в слове в таком порядке - $\dots x \dots y \dots x \dots y \dots$

вот, оказывается дружественные буквы могут и не рядом стоять... Вы уж полное определение допустимого слова дайте, а не по частям.

[Someone]

situs, впечатление такое, что Вы сами не знаете, чего хотите.

-- Вс мар 03, 2019 18:07:37 --

Другой вариант — определять отношение дружественности по заданному слову, если уж Вы хотите установить биекцию между словами и отношениями дружественности.

[alcoholist]

Вы пишите, что из шести слов в двухбуквенном алфавите допустимы $aabb, abab, abba$.
А чем $abba$ лучше $baab$?

[situs]

alcoholist в сообщении #1379605 писал(а):

Да и лучше не на вопросы отвечать (они наводящие), а определить допустимые слова.

Cлово длины $2n$ в алфавите $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ называется допустимым, если
а) Каждая буква входит в слово ровно два раза.
б) Буквы расположены в следующем порядке. Буква $a_j$, кроме первой буквы, встречается в слове (при просмотре слева направо) только тогда, когда в слове стоит буква $a_i$ c $i < j$, где $i, j = 1, 2, \dots, n$.

-- 03.03.2019, 18:49 --

Теперь, пусть дано допустимое слово $w$. Будем называть буквы $x$ и $y$ в слове $w$ дружественными тогда и только тогда, когда они расположены в таком порядке - $\dots x \dots y \dots x \dots y$

[alcoholist]

situs
Получается, любое слово начинается с подслова $a_1a_2\ldots a_n$.

[situs]

alcoholist в сообщении #1379626 писал(а):

situs
Получается, любое слово начинается с подслова $a_1a_2\ldots a_n$.

Еще может быть вариант $a_1a_1a_2 \ldots $

[alcoholist]

situs в сообщении #1379624 писал(а):

б) Буквы расположены в следующем порядке. Буква $a_j$, кроме первой буквы, встречается в слове (при просмотре слева направо) только тогда, когда в слове стоит буква $a_i$ c $i < j$, где $i, j = 1, 2, \dots, n$.

Проще говоря, буква $a_{i+1}$ первый раз (слева направо) входит в слово после буквы $a_i$.

-- Вс мар 03, 2019 19:08:31 --

situs в сообщении #1379627 писал(а):

вариант $a_1a_1a_2 \ldots $

означает, что $a_1$ никому не дружественно

[waxtep]

situs в сообщении #1379601 писал(а):

$aabb, abab, abba$.

Получается, допустимых слов в алфавите из двух символов - три, а допустимых матриц - две (нулевая и с единицами вне диагонали) - биекции не будет. Оба слова $aabb$ и $abba$ отображаются на нулевую матрицу

[situs]

alcoholist в сообщении #1379630 писал(а):

означает, что $a_1$ никому не дружественно

Да.

[waxtep]

С алфавитом из трех символов тоже беда - матриц, действительно, $8$, а допустимых слов явно больше, перечислю первые $9$: $aabbcc,aabcbc,aabccb,ababcc,abacbc,abaccb,abbacc,abbcac,abbcca$

[alcoholist]

waxtep в сообщении #1379636 писал(а):

тоже беда

я думаю, что из всех слов, дающих одну и ту же матрицу, можно выбрать определенным образом слово "наименьшего веса"
впрочем, что там надо ТС мы не знаем

[situs]

waxtep

Ой! Беда! Без биекции у меня перестает всё работать
Спасибо!

-- 03.03.2019, 19:26 --

alcoholist в сообщении #1379638 писал(а):

из всех слов, дающих одну и ту же матрицу, можно выбрать определенным образом слово "наименьшего веса"

Это Вы например про что, не могли бы объяснить?

[alcoholist]

situs в сообщении #1379640 писал(а):

Это Вы например про что, не могли бы объяснить?

пока я не знаю зачем вам биекция, ничего предложить не смогу

[situs]

alcoholist в сообщении #1379646 писал(а):

situs в сообщении #1379640 писал(а):

Это Вы например про что, не могли бы объяснить?

пока я не знаю зачем вам биекция, ничего предложить не смогу

Я доказываю теорему в которой утверждается, что "слово является хорошим тогда и только тогда, когда ранг матрицы слова $\leqslant 2$". Думаю, что биекция нужна для доказательства части "только тогда".