2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Заяц и черепаха
Сообщение02.03.2019, 07:53 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Черепаха и заяц решили устроить соревнование по бегу. Договорились, что черепаха дает зайцу (зайцу!) фору в целое число метров (заяц, например, может решить стартовать с расстояния $10$ метров перед черепахой). Далее гонка идет таким образом: заяц расписывает свой текущий отрыв по степеням двойки (например, $2^3+2$). При этом показатели степеней тоже расписываются по степеням двойки, так что указанный пример в окончательном виде запишется как $2^{(2+1)}+2$. Заяц бежит что есть духу, пока его отрыв от первоначального положения черепахи не достигает значения указанного выражения, в котором все двойки заменены на тройки: $3^{(3+1)}+3.$ За это время черепаха проползает расстояние в один метр и сокращает дистанцию между собой и зайцем до $3^{(3+1)}+2=83.$ Далее подобным же образом заяц в выражении для нового отрыва заменяет все тройки на четверки, а черепаха все так же проползает один метр. Новый отрыв зайца после этого составит $4^{(4+1)}+1=1025.$

Это продолжается неограниченно долго: заяц всегда пишет его текущий отрыв по степеням очередного натурального числа, увеличивая на единицу каждый раз все встречающиеся в выражении отрыва текущие натуральные числа, как описано выше, а черепаха все так же продвигается на один метр.

Кто победит в этой гонке? Всегда ли это одно и то же животное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Заяц и черепаха
Сообщение02.03.2019, 08:12 


08/06/18
44
Теорема Гудстейна? Красиво.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заяц и черепаха
Сообщение03.03.2019, 12:40 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
dedaded в сообщении #1379354 писал(а):
Теорема Гудстейна?

Оказывается, это даже оформлено в виде отдельной теоремы. Задачка получилась больше на эрудицию, значит.

Собственно доказательство меня самого поразило, честно говоря (не ожидал встретить ординалы в детской задачке): надо взять первоначальный отрыв и, вместо того, чтобы заменять двойки на тройки, тройки на четверки и т.д., надо сразу заменить их ординалом $\omega.$ Движения зайца не меняют "ординального" расстояния, а вот черепаха, чертяка, уменьшает ее на единицу. Заяц проиграет, потому что ординалы не могут неограниченно уменьшаться)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group