Кривая Пеано существует или нет?

[Lia]

B@R5uk в сообщении #1369871 писал(а):

Я не могу дать вам этого определения. Я не знаю, как ещё правильно записывать "предел последовательности множеств", поэтому записал так.

Так ведь не о записи речь, а о понятии. Что Вы под этим подразумеваете.

[Someone]

B@R5uk в сообщении #1369871 писал(а):

Я не знаю, как ещё правильно записывать "предел последовательности множеств", поэтому записал так.

Вас спрашивают не о том, как правильно записывать (как хотите, так и записывайте), а о том, что Вы имеете в виду, говоря о пределе последовательности множеств. Определение предела последовательности множеств сформулируйте, пожалуйста. То, которое Вы имели в виду.

[mihaild]

Ну т.е. вы написали $\lim\limits_{k \to \infty} M_k$, но что значит эта последовательность значков - сказать не можете. Соответственно, вопрос не задан, и ответить на него нельзя. Можно с тем же успехом спросить, чему равно $\overbrace{\star\Gamma\underbrace{\oplus\reflectbox{what}}}\nparallel$.

[Mikhail_K]

B@R5uk

В Вашем примере непонятно, что значит "предел последовательности множеств". Вы должны объяснить, что это вообще значит. Что такое предел числовой последовательности - известно, а что такое предел последовательности множеств?

Заметьте, что с кривой Пеано так же. Недостаточно сказать "кривая Пеано - это предел такой-то последовательности кривых". Чтобы это превратилось в определение, нужно объяснить, а что это вообще такое - предел последовательности кривых (или предел последовательности множеств).
При построении кривой Пеано (ссылки уже были даны) такое объяснение даётся, причём даётся оно конкретно для этой самой кривой Пеано. Там не объясняется, что значит "предел последовательности кривых" в общем случае. (Такое понятие ввести можно, и наверное даже несколькими способами, но в данном случае это не обязательно.)

Поэтому, слова "кривая Пеано есть предел последовательности кривых" - сами по себе представляют собой не строгое определение, а просто наглядное объяснение, на научно-популярном уровне. Строгое определение кривой Пеано другое.

B@R5uk в сообщении #1369864 писал(а):

То, что кривая Пеано $P$ плотно заполняет квадрат $S$ означает лишь, что $\forall$ точки $A\in S$ и $\forall\varepsilon>0$ существует такая точка $B\in P$ что расстояние $|AB|<\varepsilon$. Но это далеко не означает, что $\forall$ точки $A\in S$ существует такая точка $B\in P$ что расстояние $|AB|=0$, как мне тут пытаются упорно доказать на этих двух страницах.

Что такое плотное множество, все Ваши собеседники в курсе. Так вот, кривая Пеано не просто является плотным множеством в квадрате, а проходит через все его точки, фактически, безо всяких $\varepsilon$. Доказательство даётся в любом источнике, где корректно строится эта кривая.

Чтобы построить плотную линию на квадрате, много ума не надо. Взять хоть траекторию бильярдного шара, выпущенного из вершины квадрата под иррациональным углом (точнее, под углом, отношение которого к прямому иррационально). Правда, там будет отображение в квадрат не отрезка, а луча, ну да не суть. Кривая Пеано тем и знаменита, что не просто плотно заполняет квадрат, а полностью.

В частности, для любой иррациональной точки квадрата определена последовательность сужающихся к ней квадратиков, для неё - соответствующая последовательность сужающихся отрезков, а для неё - точка на отрезке, к которой они сужаются. Эта точка и на отрезке и отображается в иррациональную точку квадрата.

Более того, Вам объяснили, что вообще невозможно построить кривую в смысле образа непрерывного отображения отрезка в квадрат, плотную в квадрате, но не совпадающую с ним. (Если вместо отрезка брать луч или прямую, то можно). Потому что отрезок - компактное множество, непрерывный образ отрезка также компактен и не может быть незамкнутым множеством (в чём Вы подозреваете кривую Пеано).

wrest в сообщении #1369785 писал(а):

Возвращаю вас к первому посту. Последовательность $a_n=1/n$ имеет пределом ноль. (предел равен нолю). Но никакой член последовательности нолю не равен.

Тут вообще непонятно, в чём вопрос. Кривая Пеано отличается от всех аппроксимирующих её кривых, но тоже как и они является кривой, потому что является непрерывным отображением отрезка.

[iifat]

Someone в сообщении #1369876 писал(а):

Определение предела последовательности множеств

Извиняюсь за встревание в чужой разговор, но в обсуждаемом частном случае, как понимаю, $M_k\subset M_{k+1}$, так что речь фактически идёт о $\bigcup\limits_k M_k$, а это понятие вполне себе определено, не?

[Soul Friend]

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1369883 писал(а):

Кривая Пеано тем и знаменита, что не просто плотно заполняет квадрат, а полностью.

В своё время мне пояснили за кривую Пеано, что она:

provincialka в сообщении #1242361 писал(а):

имеет самопересечения: без самопересечений отрезок в двумерную фигуру не отобразить.

что считаю одним из необходимых свойств этой кривой для понимания. Ну и ниточкой к нему тянутся ZF, AD, AC со всемозможными их комбинаторными перестановками друг с другом. Пока боюсь в эти дебьри лезть.

[wrest]

Mikhail_K в сообщении #1369883 писал(а):

Кривая Пеано отличается от всех аппроксимирующих её кривых,

Причём, судя по картинкам, каждая итерация отличается от предыдущей если образно говорить, как земля и небо, ведь длина её например растёт в несколько раз от итерации к итерации.


++++++
В общем для меня вопрос о существовании разрешился, кривая существует и даже есть формула какие точки отрезка в какие точки квадрата отображаются.

Мне кажется, что называть кривую Пеано «пределом последовательности кривых которые строятся так-то» — весьма неудачная идея.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1369788 писал(а):

Если Вам непонятно как задать кривую предельным переходом из другой кривой - это другой вопрос, например можно зажать кривую между двумя другими неограниченно сходящимися (и с одинаковыми пределами).

Вот фишка в том что это тут не работает, не зажмёте вы кривую Пеано, имхо, никак.
Работает ваше пояснение для, например, последовательности вписанных и описанных вокруг той же окружности правильных многоугольников - они "сходятся" к окружности, и это понятно, вопросов не вызывает.

[mihaild]

mihaild в сообщении #1369815 писал(а):

за что купил - за то продаю

Написал очевидный бред - в правой части число, а не точка на плоскости, и меня никто не поправил. (как же я люблю нтоацию записи скобок вместо $C_n^k$.
Должно быть $\sum\limits_{j=1}^\infty \frac{(-1)^{e_{0j}}}{2^j} \operatorname{sign}(q_j) (1-d_jq_j, (1-d_j)q_j - 1)$.

[wrest]

mihaild в сообщении #1369941 писал(а):

и меня никто не поправил.

Ну я сразу по ссылке прошёл, а там примеры расчетов и получаются два числа.

[Dmitriy40]

wrest в сообщении #1369931 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1369788 писал(а):

Если Вам непонятно как задать кривую предельным переходом из другой кривой - это другой вопрос, например можно зажать кривую между двумя другими неограниченно сходящимися (и с одинаковыми пределами).

Вот фишка в том что это тут не работает, не зажмёте вы кривую Пеано, имхо, никак.
Работает ваше пояснение для, например, последовательности вписанных и описанных вокруг той же окружности правильных многоугольников - они "сходятся" к окружности, и это понятно, вопросов не вызывает.

ОК, а теперь уберите второй многоугольник - и получите что последовательность кривых (многоугольники) сходится к одной (окружности) (и при этом вторая снова не содержится ни в одной из первых), правда существование предела будет доказать сложнее. И не надо ничего зажимать именно с двух сторон, это я привёл лишь как более понятный пример, способов задать кривую может быть много разных. Для кривой Пеано тоже где-то есть доказательство что описанный метод построения в пределе сходится именно к ней.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1369945 писал(а):

ОК, а теперь уберите второй многоугольник - и получите что последовательность кривых (многоугольники) сходится к одной (окружности) (и при этом вторая снова не содержится ни в одной из первых), правда существование предела будет доказать сложнее.

Почему сложнее, там все геометрически ясно.
Периметр многоугольника стремится к длине окружности, все ясно и понятно. Площадь многоугольника стремится к площади круга, а их разность к нулю - тоже все прекрасно. Мы можем например указать начиная с какого многоугольника его площадь, или периметр, или максимальное расстояние от любой точки многоугольника до ближайшей точки окружности, или ещё какой понятный критерий близости одной кривой и другой, будет отличаться менее чем на любой положительный эпсилон от площади окружности, так что можем применить привычный "формализм эпсилон-дельта". Уже начиная с шестиугольника, он визуально становится похожим на окружность.

upd Хотя я и не уверен что многоугольник "в пределе" совпадет с окружностью, но видимо это все-таки так.

Ничего подобного вышеописанному с последовательностью кривых, "пределом которой является кривая Пеано", не происходит.

-- 19.01.2019, 14:19 --

Dmitriy40 в сообщении #1369945 писал(а):

Для кривой Пеано тоже где-то есть доказательство что описанный метод построения в пределе сходится именно к ней.

Только не ясно что именно значит "в пределе сходится"...

[mihaild]

wrest в сообщении #1369951 писал(а):

Только не ясно что именно значит "в пределе сходится"...

Тут полезно считать что кривая - это просто непрерывная функция из отрезка в плоскость. Соответственно у нас есть последовательность таких функций, и они поточечно (и даже равномерно) сходятся к функции, задающей кривую Пеано.

[venco]

venco в сообщении #1369794 писал(а):

Geen в сообщении #1369777 писал(а):

Наверное это зависит (для указанной точки) от конкретного варианта, но кратные точки всё равно будут.
(но, что-то плохо соображается, вероятно для указанной точки как-раз один раз...)

Вроде, у кривой Пеано кратными являются только троично-рациональные точки. А у кривой Гильберта - двоично-рациональные.

Никто не поправил, поэтому сам: кратными являются точки с хотя бы одной троично-(двоично-)рациональной координатой.

[Dmitriy40]

wrest в сообщении #1369951 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1369945 писал(а):

Для кривой Пеано тоже где-то есть доказательство что описанный метод построения в пределе сходится именно к ней.

Только не ясно что именно значит "в пределе сходится"...

Так ведь mihaild это уже сформулировал: отличия кривых друг от друга в пределе равны нулю.