2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 e^(ln(x))
Сообщение05.12.2018, 21:51 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Решил я сегодня вечерком чисто для души вывести очевидное равенство $$\[{e^{\ln (x)}} = x\]$$, пользуясь исключительно тем, что $$\[\ln (x) = \int\limits_1^x {\frac{1}{x}{\text{ }}} dx\]$$ Прошу проверить уровень строгости.
Вначале дифференцируем $\[{{e^{\ln (x)}}}\]$: $$\[{\left( {{e^{\ln (x)}}} \right)^\prime } = \frac{1}{x}{e^{\ln (x)}}\]$$
Проинтегрируем $\[\frac{1}{x}{e^{\ln (x)}}\]$ по частям: $$\[\int {\frac{1}{x}{e^{\ln (x)}}dx = } \int {{{\left( {\ln (x)} \right)}^\prime }{e^{\ln (x)}}dx = } \ln (x){e^{\ln (x)}} - \int {\frac{{\ln (x)}}{x}{e^{\ln (x)}}dx} \]$$
С другой стороны $$\[\ln (x){e^{\ln (x)}} - \int {\frac{{\ln (x)}}{x}{e^{\ln (x)}}dx}  = {e^{\ln (x)}}+C\]$$, то есть
$$\[\left( {\ln (x) - 1} \right){e^{\ln (x)}} + C = \int {\frac{{\ln (x)}}{x}{e^{\ln (x)}}dx} \]$$
Обозначим $\[A(x) = {e^{\ln (x)}}\]$. Дифференцируя последнее равенство с учетом замены получим:
$$\[A'(x)\left( {\ln (x) - 1} \right) + \frac{{A(x)}}{x} = \frac{{A(x)}}{x}\ln (x)\]$$
откуда имеем дифур с разделяющими переменными:
$$\[\frac{{A(x)}}{x} = A'(x)\]$$
$$\[\frac{{dA}}{A} = \frac{{dx}}{x}\]$$
$$\[\ln (A) = \ln (x)\]$$
Из интегрального определения логарифма следует, что $\[A(x) \equiv x\]$, что и требовалось доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: e^(ln(x))
Сообщение05.12.2018, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
А про экспоненту что считается известным?

Сразу бросается в глаза, что решение $\frac{dA}{A} = \frac{dx}{x}$ без начальных условий не единственно - целое семейство $A(x) = c x$ получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: e^(ln(x))
Сообщение05.12.2018, 22:51 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
mihaild в сообщении #1359133 писал(а):
А про экспоненту что считается известным?

То, что она равна своей производной.
mihaild в сообщении #1359133 писал(а):
$A(x) = сx$

Хм, а ведь действительно $A(x) = сx+C$. Но $A(0)$ не определен, ибо $0<1$, так что не знаю, что там с начальными условиями.

 Профиль  
                  
 
 Re: e^(ln(x))
Сообщение05.12.2018, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Rusit8800 в сообщении #1359143 писал(а):
То, что она равна своей производной
Тогда не получится. $\left(c e^x\right)^\prime = c e^x$ для любого $c$, но $c e^{\ln x} = x$ только для $c = 1$.
Rusit8800 в сообщении #1359143 писал(а):
$A(x) = сx+C$.
Пардон, я там формулу неправильно написал (поправил). $\ln A = \ln x + c$, откуда $A = c x$.

Еще к диффуру можно переходить сразу из
Rusit8800 в сообщении #1359129 писал(а):
$\[{\left( {{e^{\ln (x)}}} \right)^\prime } = \frac{1}{x}{e^{\ln (x)}}\]$
, без промежуточного интегрирования туда-сюда

 Профиль  
                  
 
 Re: e^(ln(x))
Сообщение06.12.2018, 04:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Rusit8800 в сообщении #1359143 писал(а):
Но $A(0)$ не определен, ибо $0<1$

Зато $A(1)=1$

-- 06.12.2018, 06:36 --

Rusit8800 в сообщении #1359143 писал(а):
То, что она равна своей производной.

Этого мало, это целое семейство функций будет, так что начальное условие на экспоненту тоже надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: e^(ln(x))
Сообщение06.12.2018, 05:27 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Тут, по-моему, имеет место случай "слышу звон..."
после определения
$$\ln x:=\int_1^x\frac{ds}{s},\quad x>0$$
обычно говорят: зададим функцию $\exp(x)$ как обратную к $\ln:\quad \exp\ln x=x;\quad\ln\exp y=y$
после чего доказывают, что для рациональных $x$ верно равенство
$$\exp x=e^x,$$
где $e$ -- корень уравнения $\ln x=1$
а для иррациональных $x$ это полагают по определению $e^x:=\exp x$

 Профиль  
                  
 
 Re: e^(ln(x))
Сообщение06.12.2018, 09:09 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Никто не мешает вводить экспоненту её рядом или тем же дифуром с добавлением условия $\exp0 = 1$. Притом определение рядом прекрасно переносится на (ассоциативные с единицей) нормированные вещественные алгебры, а логарифм через интеграл там поди определи, да и многозначным он может оказаться. Так что по идее всё-таки где как.

 Профиль  
                  
 
 Re: e^(ln(x))
Сообщение06.12.2018, 21:54 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
thething в сообщении #1359168 писал(а):
Этого мало, это целое семейство функций будет, так что начальное условие на экспоненту тоже надо.

Не понимаю, почему условия
thething в сообщении #1359168 писал(а):
Зато $A(1)=1$

не хватает? Скажу на всякий случай: известно, что $e^0=1$

-- 06.12.2018, 21:55 --

mihaild в сообщении #1359145 писал(а):
Еще к диффуру можно переходить сразу из Rusit8800 в сообщении #1359129

писал(а):
$\[{\left( {{e^{\ln (x)}}} \right)^\prime } = \frac{1}{x}{e^{\ln (x)}}\]$ , без промежуточного интегрирования туда-сюда

Кстати да. Зато потренировался в интегрировании по частям)

 Профиль  
                  
 
 Re: e^(ln(x))
Сообщение06.12.2018, 22:10 


17/04/18
143
после
Rusit8800 в сообщении #1359129 писал(а):
$$\[\frac{{dA}}{A} = \frac{{dx}}{x}\]$$

достаточно навесить $\int_1^x$ на обе части и использовать определение логарифма. Ну это по модулю того что
а) вы верите в то что вы понимаете метод разделения переменных, для доказательства корректности которого нужно, вообще говоря, всякие неприятные технические штуки вроде теоремы о неявной функции применять
б) нужно проверить монотонность $\ln$ чтобы из $\ln A = \ln B$ получить $A = B$
в) ещё бы проверить что $A$ монотонна и не 0 на $(0..+\infty)$ иначе будет $0$ в знаменателе и не получится теорему о замене переменной в интеграле применить

 Профиль  
                  
 
 Re: e^(ln(x))
Сообщение06.12.2018, 22:24 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
nya в сообщении #1359356 писал(а):
а) вы верите в то что вы понимаете метод разделения переменных, для доказательства корректности которого нужно, вообще говоря, всякие неприятные технические штуки вроде теоремы о неявной функции применять

Про эту теорему ничего не слыхал :D
nya в сообщении #1359356 писал(а):
б) нужно проверить монотонность $\ln$ чтобы из $\ln A = \ln B$ получить $A = B$

По идее следует из положительности $x^{-1}$ при $x>0$.
nya в сообщении #1359356 писал(а):
в) ещё бы проверить что $A$ монотонна и не 0 на $(0..+\infty)$ иначе будет $0$ в знаменателе и не получится теорему о замене переменной в интеграле применить

Про применение теоремы о замене переменной тоже не слыхал. Я изучаю вышмат по Зельдовичу просто для того, чтобы получить инструмент для решения задач по физике. Но сейчас я все больше начинаю видеть, что копать глубоко сейчас нет особого смысла, так как уровень математической строгости Зельдовича крайне низок.

 Профиль  
                  
 
 Re: e^(ln(x))
Сообщение06.12.2018, 22:30 


17/04/18
143
Я про следующее: вы хотите использовать $\int_1^x dA/A = \int_{A(1)}^{A(x)} dx/x$ вы уже знаете что $A(1)=1$, но если $A(x) \leq 0$ то интеграл вообще говоря существовать не будет, а считать величины которые не существуют плохо.

 Профиль  
                  
 
 Re: e^(ln(x))
Сообщение06.12.2018, 22:34 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
nya в сообщении #1359364 писал(а):
Я про следующее: вы хотите использовать $\int_1^x dA/A = \int_{A(1)}^{A(x)} dx/x$ вы уже знаете что $A(1)=1$, но если $A(x) \leq 0$ то интеграл вообще говоря существовать не будет, а считать величины которые не существуют плохо.

Такие вещи я и в голове держать не мог :shock:
Думаю, продолжать беседу не имеет смысла, ибо чем дальше она пойдет, тем более сильно я проявлю свою некомпетентность в математическом анализе.

 Профиль  
                  
 
 Re: e^(ln(x))
Сообщение06.12.2018, 22:36 


17/04/18
143
С другой стороны вы можете поступить следующим образом, которым часто и поступают: сперва найти решение, игнорируя вопросы существования\несуществования, а потом проверить, что оно подходит. Иначе говоря доказать отдельно "Если $A(x)$ положительно на $(0..+\infty)$ то оно равно $x$", а потом проверить, что $x$ положительно на $(0..+\infty)$, это будет вполне себе строгое доказательство тогда!

 Профиль  
                  
 
 Re: e^(ln(x))
Сообщение06.12.2018, 23:11 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
nya в сообщении #1359369 писал(а):
Иначе говоря доказать отдельно "Если $A(x)$ положительно на $(0..+\infty)$ то оно равно $x$", а потом проверить, что $x$ положительно на $(0..+\infty)$, это будет вполне себе строгое доказательство тогда!

Все бы хорошо, но этот вариант меня не устаивает, нужна общая идейная сторона, которой мне учиться и учиться. Если бы мы решали полиномиальные уравнения с одной переменной с помощью угадывания корней, то мы бы далеко не продвинулись в изучении математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: e^(ln(x))
Сообщение06.12.2018, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
nya в сообщении #1359369 писал(а):
Иначе говоря доказать отдельно "Если $A(x)$ положительно на $(0..+\infty)$ то оно равно $x$", а потом проверить, что $x$ положительно на $(0..+\infty)$, это будет вполне себе строгое доказательство тогда!
Нет, не будет. Если решение уравнения $A(x) = -1$ относительно $A(x)$ положительно на луче, то оно равно $x$ - верно. "$x$ - решение" - неверно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group