Возвратные последовательности 2-го порядка

[eugrita]

Обычно под линейной возвратной последовательностью 2 порядка понимают формулу
$X_{n+2}=a \cdot X_{n+1} +b \cdot X_n$
для нее в связи с наличием формулы общего члена последовательности в общем то ясен характер ее поведения -
наподобие решения линейного однородного диф ур 2 порядка -если корни характеристического уравнения комплексные,
то процесс колебательный или затухание или раскачка в зависимости от знака вещественной части.
Если корни вещественные -то апериодический возрастающий экспоненциально иди затухающий экспоненциально.

Что будет если к формуле добавить постоянную т.е.
$X_{n+2}=a \cdot X_{n+1} +b \cdot X_n +d$ ?
Если не ошибаюсь, общую формулу получить нельзя? Хотя аналогом является неоднородное диф.ур. 2 порядка для которого формула есть - как сумма частного решения и общего однородного.
Другими словами, хочется исследовать характер дискретной неоднородной возвратной последовательноcти 2 порядка в зависимости от параметров-коэффициентов.
(вообще термин "возвратная последовательность" в известной мне литературе применяется только для "однородных" последовательностей без члена $d$ Почему? Хотя с помощью рекурсивных фильтров в электронике несложно реализовать такой дискретный сигнал

[grizzly]

eugrita в сообщении #1355056 писал(а):

вообще термин "возвратная последовательность" в известной мне литературе применяется только для "однородных" последовательностей без члена $d$ Почему?

Посмотрите здесь, как переходят от неоднородного уравнения к обычному возвратному уравнению чуть более высокого порядка. (Полистайте первые несколько страниц до последовательности Фибоначчи.) Это то, что Вас интересует?

[eugrita]

grizzly в сообщении #1355060 писал(а):

eugrita в сообщении #1355056 писал(а):

вообще термин "возвратная последовательность" в известной мне литературе применяется только для "однородных" последовательностей без члена $d$ Почему?

Посмотрите здесь, как переходят от неоднородного уравнения к обычному возвратному уравнению чуть более высокого порядка. (Полистайте первые несколько страниц до последовательности Фибоначчи.) Это то, что Вас интересует?

Нет .То о чем пишет Маркушевич подробно и сейчас растиражировано для студентов и даже иногда мат школ - это как раз в моих терминах "однородная возвратная последовательность " - там нет постоянного члена. Вся фишка в нем

[DeBill]

eugrita в сообщении #1355056 писал(а):

аналогом является неоднородное диф.ур. 2 порядка для которого формула есть - как сумма частного решения и общего однородного.

Ровно то же самое имеет место и здесь, и даже в деталях. А частное решение - легко подобрать (константа, вообще говоря).

[grizzly]

eugrita в сообщении #1355061 писал(а):

там нет постоянного члена.

Ну как же нет?! Пример 2, стр. 6. Арифметическая прогрессия. Уравнение $u_{n+1}=u_n+d$ приводится к возвратному $u_{n+2}=2u_{n+1}-u_n$.

Далее. Пример 4, стр. 7. Последовательность квадратов. Уравнение $u_{n+3}=2u_{n+2}-u_{n+1}+2$ приводится к возвратному $u_{n+3}=3u_{n+2}-3u_{n+1}+u_n$.

Или это я что-то не понял?

[eugrita]

DeBill в сообщении #1355063 писал(а):

eugrita в сообщении #1355056 писал(а):

аналогом является неоднородное диф.ур. 2 порядка для которого формула есть - как сумма частного решения и общего однородного.

Ровно то же самое имеет место и здесь, и даже в деталях. А частное решение - легко подобрать (константа, вообще говоря).

Допустим, вы правы, (хотя пока не понимаю почему).
Почему же тогда солидные математические книги учебники, например Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения:
(изд. Наука) упорно пишут только об "однородных" возвратных последовательностях

[eugrita]

Ниже 2 графика получены программно.
в них в терминах темы $a=-1 и b=-2$ т. е характеристическое уравнение имеет комплексные корни с отрицательной веществ частью $z^2 +z+2=0$ почему же тогда на графиках наблюдается раскачка?
Ведь должно быть по теории затухание? программа прошла тест на числа Фибоначчи

и


причем если увеличить число точек раскачка сильно увеличивается

[dsge]

eugrita в сообщении #1355080 писал(а):

характеристическое уравнение имеет комплексные корни с отрицательной веществ частью

Для разностных уравнений условие устойчивости — чтобы корни находились в единичном круге.

[eugrita]

dsge в сообщении #1355081 писал(а):

eugrita в сообщении #1355080 писал(а):

характеристическое уравнение имеет комплексные корни с отрицательной веществ частью

Для разностных уравнений условие устойчивости — чтобы корни находились в единичном круге.

Спасибо за ценный совет. Если можете дайти ссылку на это в какой нибудь книге или пособии в формате pdf или doc чтобы удобно что-то скопировать было. (Прн все уважении к Маркушевичу его издали в djvu)

[dsge]

Должно быть в Гельфонд. Исчисление конечных разностей. В гугле можно найти. На некоторых сайтах можно файлы djvu переводить в формат pdf - введите в гугл «djvu to pdf”.

[eugrita]

Как я отстал Вот например
Условная устойчивость разностного уравнения третьего порядка в критических случаях
Южно-Уральский ун-т
Баранова Анастасия Яковлевна, студ; Шенмаер Ирина Владимировна, ст; Нигматулин Равиль Михайлович, кандидат физ-мате наук

[DeBill]

eugrita в сообщении #1355080 писал(а):

Ниже 2 графика получены программно

Ну вот и сравните их: видно что они отличаются на константу? И как ее найти?

eugrita в сообщении #1355066 писал(а):

Почему же тогда солидные математические книги учебники, например Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения:
(изд. Наука) упорно пишут только об "однородных" возвратных последовательностях

Ну, может, потому, что сведение к "сумма частного решения неоднородного и общего решения однородного" - типовой прием (применимый во всех линейных задачах?)
А то что я писал про полное совпадение (аналогию) с дифурами - можно увидеть при поиске частного решения для неоднородности типа "квазимногочлен" . И даже метод вариации постоянной - тоже работает!

[eugrita]

Ну в общем я понял. Спасибо всем.
1)Наибольшее изящество вижу в условии "устойчивости-затухания" возвратной последовательности в виде нахождения собственных значений внутри единичного круга. Полагаю что при порядке $n>2$
или системы разностных уравнений проверить это условие устойчивости не так уж легко? Или есть правила типа миноров матрицы?

2)наверное интересное обобщение этого (тут не готов пока поддерживать дискуссию) на возвратные последовательности с переменными коэф-тами зависящими от n. А отсюда - шаг к анализу устойчивоcти конечно-разностных схем численных методов решения ДУ и ДУРЧП?
Если это так готов внимательно с этим ознакомиться и прошу указать ссылки на литературу где это подробно и понятно изложено
Пусть даже Тихонов-Самарский

[dsge]

eugrita в сообщении #1355785 писал(а):

и ДУРЧП?
Если это так готов внимательно с этим ознакомиться и прошу указать ссылки на литературу где это подробно и понятно изложено

Наиболее подробно в Рябенький и Филиппов. "Об устойчивости разностных уравнений".

[eugrita]

Подчитал Гельфанда Исчисление конечных разностей. Он правда прямо не говорит о собств значениях внутри единичного круга, но приводит теорему Пуанкаре которая говорит о том что общее решение ЛОРУ при некратных собств значениях асимптотически ведет как геометрическая прогрессия с знаменателем= наибольшему собственному числу.
Собственно видимо итак достаточно ясно из формул в виде степеней собств знач как для ЛОРУ так и для ЛНРУ что неустойчивость будет когда по модулю есть корни >1. Жалко что такой очевидный факт сначала не допёр.

Правда после чтения еще вопрос, зачем Гельфанд рассматривает ЛНРУ бесконечного порядка?
Откуда они вообще возникают в практике?