2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 39, 40, 41, 42, 43  След.
 
 Re: [b]Описание идеи доказательства ВТФ[/b]
Сообщение30.06.2006, 00:28 
Заморожен


27/05/05
251
Франция
Someone писал(а):
Нет, явно не понимаете.


Вы хотите это?

=============

Числовой пример для b=100, n=3

После преобразования последней цифры числа $a$ в 1 (с помощью умножения равенства Ферма на некоторое однозначное число в степени $nn$) автоматически преобразуется в ноль и предпоследняя цифра, т.к. в равенстве Ферма двузначные окончания каждого из трех оснований совпадают с двузначными окончаниями их степеней.
И уравнение Ферма для b=100 и n=3
$a^n=c^n-b^n=(c-b)R$ принимает вид:
$…01^3=…01^3-…00^3$.

Везде ниже слово «число» означает лишь ДВУЗНАЧНОЕ ОКОНЧАНИЕ этого числа, поскольку остальные цифры чисел нас не интересуют.

Увеличение числа $b=…00$ на 1 ведет к увеличению числа $b^n$, следовательно, и к уменьшению числа $c^n-b^n$ на 1. Действительно, число $(…00+1)^n=…000+1$.
Из этого следует и обратное:
3° Уменьшение $b^*=…00+1$ на 1 ведет к уменьшению числа $b^*^n$, следовательно, и к увеличению числа $c^n-b^*^n$ на 1.

Увеличим $b=…00$ до значения $b^*=…01$. Теперь правая часть в равенстве 2° имеет вид:
$…01^3-…01^3=(..00)(…01^2+…01^2+…01^2)$, где второй сомножитель $R=…01^2+…01^2+…01^2=...10$ оканчивается на 10.

А теперь вернемся назад: восстановим первоначальное значение $b=…00$, уменьшив $b^*$ на 1.
При этом, согласно 3°, двузначное окончание числа $c^n-b^*^n=…01^3-…01^3$, РАВНОЕ 00, увеличится на 1. И так как первый сомножитель в равенстве 4° есть 1, то увеличение на 1 числа $c^n-b^*^n$ может произойти только за счет увеличения второго сомножителя – $R$, а именно: вместо 10 оно становится равным 10+1=11. Но такое двузначное окончание не имеет ни одно число в кубе!

Таким образом, число $R$а ВМЕСТЕ с ним и число $a^n$! – изначально НЕ ЯВЛЯЕТСЯ $n$-й степенью: $R$$R'^n$. Что и требовалось доказать.

Спрашивается, какие из этих вычислений нужно дать подробнее и насколько?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2006, 00:32 
Заморожен


27/05/05
251
Франция
Dan_Te писал(а):
Сорокин Виктор писал(а):
И если доказательство окажется верным (а всё говорит об этом),

Горбатого могила исправит.


Спасибо за пожелание нескучно пожить после смерти - повоевать с могилой! Надеюсь, эта война растянется не на одно столетие...

 Профиль  
                  
 
 Re: [b]Описание идеи доказательства ВТФ[/b]
Сообщение30.06.2006, 01:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Сорокин Виктор писал(а):
И так как первый сомножитель в равенстве 4° есть 1,


Во-первых, первый сомножитель в этом равенстве есть $\dots 00$.

Сорокин Виктор писал(а):
то увеличение на 1 числа $c^n-b^*^n$ может произойти только за счет увеличения второго сомножителя


Во-вторых, когда Вы заменяете $b$ на $b^*=b+1$ и наоборот, то изменяются оба множителя; в частности, первый при обратной замене изменяется с $\dots 00$ на $\dots 01$.

В-третьих, заменяя сначала $b$ на $b^*$, а потом наоборот, трудно получить что-либо, отличающееся от первоначального равенства.

В-четвёртых, всё это не имеет ни малейшего отношения к теореме Ферма.

И в-пятых, если бы Вы действительно проделали все вычисления на числовом примере, как я Вас просил (но так и не допросился), то Вы бы это всё сами могли увидеть.

 Профиль  
                  
 
 Re: [b]Описание идеи доказательства ВТФ[/b]
Сообщение30.06.2006, 09:36 
Заморожен


27/05/05
251
Франция
Someone писал(а):
Сорокин Виктор писал(а):
И так как первый сомножитель в равенстве 4° есть 1,


Во-первых, первый сомножитель в этом равенстве есть $\dots 00$.


Да, 00 (оговорился), и именно поэтому второй сомножитель оканчивается на 10.

Someone писал(а):
Сорокин Виктор писал(а):
то увеличение на 1 числа $c^n-b^*^n$ может произойти только за счет увеличения второго сомножителя


Во-вторых, когда Вы заменяете $b$ на $b^*=b+1$ и наоборот, то изменяются оба множителя; в частности, первый при обратной замене изменяется с $\dots 00$ на $\dots 01$.


И это замечательно, что на 01, ибо БЛАГОДАРЯ ЭТОМУ второй сомножитель увеличивается на 1.

Someone писал(а):
В-третьих, заменяя сначала $b$ на $b^*$, а потом наоборот, трудно получить что-либо, отличающееся от первоначального равенства.


И это замечательно: если в конце этой работы я получаю число 11, значит таковым оно было и в самом начале!

Someone писал(а):
В-четвёртых, всё это не имеет ни малейшего отношения к теореме Ферма.


Без слов…

Someone писал(а):
И в-пятых, если бы Вы действительно проделали все вычисления на числовом примере, как я Вас просил (но так и не допросился), то Вы бы это всё сами могли увидеть.


Вы так и не ответили, какое место в моих вычислениях пропущено.

 Профиль  
                  
 
 Re: [b]Описание идеи доказательства ВТФ[/b]
Сообщение30.06.2006, 14:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Сорокин Виктор писал(а):
Someone писал(а):
В-четвёртых, всё это не имеет ни малейшего отношения к теореме Ферма.


Без слов…


Ну почему же, слова найти можно. Если бы Вы здесь были правы, то немедленно рухнула бы вся математика. Впрочем, это типично для Ваших методов: если бы они работали, то никакая математика была бы невозможна.

Сорокин Виктор писал(а):
Вы так и не ответили, какое место в моих вычислениях пропущено.


Вот это:

Сорокин Виктор писал(а):
И это замечательно, что на 01, ибо БЛАГОДАРЯ ЭТОМУ второй сомножитель увеличивается на 1.


Вы утверждаете, что второй множитель увеличивается на 1, не проверив этого прямым вычислением.

Я Вам могу подкинуть примерчик для арифметических упражнений (индекс в записи чисел означает основание системы счисления):

Пусть $a=\dots 00110002002102110101_3$, $b=\dots 02020002112011222200_3$, $c=\dots 01220021101122010101_3$;
можно проверить, что $a^3+b^3\equiv c^3\pmod{3^{21}}$.

Обозначим $A=\dots 1020102021012020021_3$, $B=\dots 0102212000002221200_3$, $C=\dots 0012121002221111001_3$;
можно проверить, что $a+b\equiv C^3\pmod{3^{20}}$, $c-a\equiv\frac{B^3}{3}\pmod{3^{20}}$, $c-b\equiv A^3\pmod{3^{20}}$.

Вычисляем $\frac{a^3+b^3}{a+b}=\dots 10020211122110021001_3$, $\frac{c^3-a^3}{c-a}=\dots 02210011002202002010_3$, $\frac{c^3-b^3}{c-b}=\dots 11222222110211100101_3$.

Обозначим $A_1=\dots 0120011112011210111_3$, $B_1=\dots 0212000000001012021_3$, $C_1=\dots 0111122102100022101_3$;
можно проверить, что $\frac{a^3+b^3}{a+b}\equiv C_1^3\pmod{3^{20}}$, $\frac{c^3-a^3}{c-a}\equiv 3B_1^3\pmod{3^{20}}$, $\frac{c^3-b^3}{c-b}\equiv A_1^3\pmod{3^{20}}$.

Проверьте свои рассуждения конкретными вычислениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: [b]Описание идеи доказательства ВТФ[/b]
Сообщение30.06.2006, 19:06 
Заморожен


27/05/05
251
Франция
Someone писал(а):
Сорокин Виктор писал(а):
Вы так и не ответили, какое место в моих вычислениях пропущено.


Вот это:

Сорокин Виктор писал(а):
И это замечательно, что на 01, ибо БЛАГОДАРЯ ЭТОМУ второй сомножитель увеличивается на 1.


Вы утверждаете, что второй множитель увеличивается на 1, не проверив этого прямым вычислением.

Я Вам могу подкинуть примерчик для арифметических упражнений (индекс в записи чисел означает основание системы счисления):

Пусть $a=\dots 00110002002102110101_3$, $b=\dots 02020002112011222200_3$, $c=\dots 01220021101122010101_3$;
можно проверить, что $a^3+b^3\equiv c^3\pmod{3^{21}}$.

Обозначим $A=\dots 1020102021012020021_3$, $B=\dots 0102212000002221200_3$, $C=\dots 0012121002221111001_3$;
можно проверить, что $a+b\equiv C^3\pmod{3^{20}}$, $c-a\equiv\frac{B^3}{3}\pmod{3^{20}}$, $c-b\equiv A^3\pmod{3^{20}}$.

Вычисляем $\frac{a^3+b^3}{a+b}=\dots 10020211122110021001_3$, $\frac{c^3-a^3}{c-a}=\dots 02210011002202002010_3$, $\frac{c^3-b^3}{c-b}=\dots 11222222110211100101_3$.

Обозначим $A_1=\dots 0120011112011210111_3$, $B_1=\dots 0212000000001012021_3$, $C_1=\dots 0111122102100022101_3$;
можно проверить, что $\frac{a^3+b^3}{a+b}\equiv C_1^3\pmod{3^{20}}$, $\frac{c^3-a^3}{c-a}\equiv 3B_1^3\pmod{3^{20}}$, $\frac{c^3-b^3}{c-b}\equiv A_1^3\pmod{3^{20}}$.

Проверьте свои рассуждения конкретными вычислениями.


Ваш пример не адекватен моему доказательству:
во-первых, у меня при вычислении двузначных окончаний сомножителей $R^*$ и $R$ число $a$ не участвует;
во-вторых, Ваш пример подтверждает моё утверждение об увеличении числа $R^*$ ровно на 1 (при восстановлении значения $b$ до …00):
«Пусть … $b=\dots 02020002112011222200_3$, $c=\dots 01220021101122010101_3$;» и
«Вычисляем … $\frac{c^3-b^3}{c-b}=\dots 11222222110211100101_3$
При этом $R^*=…10$ (при $b=\dots 02020002112011222201_3$, $c=\dots 01220021101122010101_3$). Как видим, увеличение составляет 01.
В-третьих, для проверки достаточно взять лишь трехзначные окончания.
Однако спасибо за проделанную работу.

 Профиль  
                  
 
 Re: [b]Описание идеи доказательства ВТФ[/b]
Сообщение30.06.2006, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Сорокин Виктор писал(а):
Ваш пример не адекватен моему доказательству:
во-первых, у меня при вычислении двузначных окончаний сомножителей $R^*$ и $R$ число $a$ не участвует;


А у меня разве участвует? Если я правильно понял, то $R=\frac{c^3-b^3}{c-b}$, $R^*=\frac{c^3-(b^*)^3}{c-b^*}$, где $b^*=b+1$.

Сорокин Виктор писал(а):
во-вторых, Ваш пример подтверждает моё утверждение об увеличении числа $R^*$ ровно на 1 (при восстановлении значения $b$ до …00):


Внимательно посмотрите, увеличивается двузначное окончание при переходе от $R^*$ к $R$ или уменьшается:
$R^*=\dots 02100102220211110010_3$ и
$R^{\phantom *}=\dots 11222222110211100101_3$?

Сорокин Виктор писал(а):
В-третьих, для проверки достаточно взять лишь трехзначные окончания.


Ну, это сегодня Вы говорите, что достаточно трёх цифр. А вчера говорили, что хватит двух. А потом скажете, что нужно семь или пятнадцать. Да и не жалко мне, подбирать их нетрудно. Я написал маленькую программку для математической системы Mathematica, и с её помощью подобрал 20 цифр (за 167 секунд).

 Профиль  
                  
 
 Re: [b]Описание идеи доказательства ВТФ[/b]
Сообщение30.06.2006, 23:37 
Заморожен


27/05/05
251
Франция
Someone писал(а):
Сорокин Виктор писал(а):
во-вторых, Ваш пример подтверждает моё утверждение об увеличении числа $R^*$ ровно на 1 (при восстановлении значения $b$ до …00):


Внимательно посмотрите, увеличивается двузначное окончание при переходе от $R^*$ к $R$ или уменьшается:
$R^*=\dots 02100102220211110010_3$ и
$R^{\phantom *}=\dots 11222222110211100101_3$?


Это для меня трудно: понять - увеличивается или уменьшается. Пусть уменьшается. Но и в этом случае двузначное окончание у $R$ становится равным 10-01=09, ни никак не 01, как должно быть согласно степенному свойству числа $R$.

Сорокин Виктор писал(а):
В-третьих, для проверки достаточно взять лишь трехзначные окончания.


Someone писал(а):
Ну, это сегодня Вы говорите, что достаточно трёх цифр. А вчера говорили, что хватит двух. А потом скажете, что нужно семь или пятнадцать. Да и не жалко мне, подбирать их нетрудно. Я написал маленькую программку для математической системы Mathematica, и с её помощью подобрал 20 цифр (за 167 секунд).


Этим Вашим искусством я восхищен с первых Ваших примеров. Двух цифр нужно для доказательства, а если оно ошибочно, то почти наверняка должно опровергаться вычислением трехзначных окончаний.

Предполагаемая причина Вашего подозрения: возможно, при измененном $b$ Вы находите новое измененное значение $a$, которое заведомо не является целочисленным, т.к. по допущению таковым является первоначальное $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: [b]Описание идеи доказательства ВТФ[/b]
Сообщение01.07.2006, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Сорокин Виктор писал(а):
Someone писал(а):
Сорокин Виктор писал(а):
во-вторых, Ваш пример подтверждает моё утверждение об увеличении числа $R^*$ ровно на 1 (при восстановлении значения $b$ до …00):


Внимательно посмотрите, увеличивается двузначное окончание при переходе от $R^*$ к $R$ или уменьшается:
$R^*=\dots 02100102220211110010_3$ и
$R^{\phantom *}=\dots 11222222110211100101_3$?


Это для меня трудно: понять - увеличивается или уменьшается. Пусть уменьшается. Но и в этом случае двузначное окончание у $R$ становится равным 10-01=09, ни никак не 01, как должно быть согласно степенному свойству числа $R$.


Вы, похоже, забыли своё рассуждение, которое мы обсуждаем:

Сорокин Виктор писал(а):
Вот Числовой пример для b=100, n=3:
сначала преобрузуем последнюю цифру числа $c$ в 1;
затем увеличим число $b$ на 1: $b^*=b+1$;
теперь двузначное окончание числа $R^*=c^2+cb^*+b*^2$ будет 01+01+01=10;
и после обратного уменьшения $b^*$ до значения $b$ двузначное окончание числа $R^*$ увеличивается на 1 (т.к. двузначное окончание числа $c^n-b^n$ увеличивается на 1) и превращается в число $R$ со значением двузначного окончания равным 10 + 01 = 11 (не исключено, что здесь я ошибаюсь и правильным будет 10-01=02), в то время как оно обязано быть равным 01, т.к. является окончанием куба числа, оканчивающегося на 1.


У нас $b=\dots 02020002112011222200_3$, $c=\dots 01220021101122010101_3$, так что $R=\frac{c^3-b^3}{c-b}=\dots 11222222110211100101_3$. Первый этап Ваших преобразований можно пропустить, поскольку число $c$ и так оканчивается на $1$. Число $R$, будучи кубом числа $A_1=\dots 0120011112011210111_3$, имеет правильное окончание $\dots 01_3$.
Увеличивая число $b$ на $1$, получим $b^*=b+1=\dots 02020002112011222201_3$, при этом $R^*=\frac{c^3-(b^*)^3}{c-b^*}=\dots 02100102220211110010_3$ (запись $R^*$ в троичной системе счисления должна оканчиваться на один ноль, так как $c-b^*=\dots 22200011212110010200_3$ делится на $3$); легко видеть, что $R^*-R=\dots 20100110110000002202_3$, так что двузначное окончание увеличивается на $02_3$.
Делая обратную замену $b^*$ на $b$, мы, естественно, вернёмся к числу $R$, так что теперь двузначное окончание уменьшится на те же самые $02_3$. С чего Вы взяли, что оно должно увеличиться (или уменьшиться) на $01_3$?

Именно для того, чтобы помочь Вам избегать подобных глупостей, я и пытался (долгое время) приучить Вас проверять всё на численных примерах. К сожалению, я в этом не преуспел, и Вы опять пишете всякую ерунду.

Сорокин Виктор писал(а):
Предполагаемая причина Вашего подозрения: возможно, при измененном $b$ Вы находите новое измененное значение $a$, которое заведомо не является целочисленным, т.к. по допущению таковым является первоначальное $a$.


Нет, причина моего подозрения совсем иная: делая два взаимно обратных преобразования, мы всегда возвращаемся к исходному положению, в то время как Вы утверждаете нечто совершенно другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: [b]Описание идеи доказательства ВТФ[/b]
Сообщение01.07.2006, 08:39 
Заморожен


27/05/05
251
Франция
Someone писал(а):
Нет, причина моего подозрения совсем иная: делая два взаимно обратных преобразования, мы всегда возвращаемся к исходному положению, в то время как Вы утверждаете нечто совершенно другое.


Я, кажется, понимаю, что Вас смущает в моем доказательстве. Это нижеследующее:
$c^n-b^n=…01$ с $R=…01$,
$c^n-b^*^n=…00$ с $R^*=…10$,
$( c^n-b^n )-(c^n-b^*^n)=…01$,
НО с
$R^*+…01$ ≠ 01 (и $R^*-…01$ ≠ 01).

Замечание за overquoting. Читайте правила. Исправьте Ваше сообщение. Следующее нарушение повлечет наказание. //cepesh

 Профиль  
                  
 
 Re: [b]Описание идеи доказательства ВТФ[/b]
Сообщение01.07.2006, 10:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Сорокин Виктор писал(а):
НО с
$R^*+…01$ ≠ 01 (и $R^*-…01$ ≠ 01).


Ну и что? Эти равенства НЕ ДОЛЖНЫ и НЕ МОГУТ выполняться. Если бы они выполнялись, это противоречило бы элементарной арифметике, причём, вне всякой связи с ВТФ. Откуда Вы их взяли?

P.S. Знак "не равно" кодируется в \TeX как \ne: $R^*+…01\ne 01$.

 Профиль  
                  
 
 Re: [b]Описание идеи доказательства ВТФ[/b]
Сообщение03.07.2006, 00:59 
Заморожен


27/05/05
251
Франция
Someone писал(а):
Сорокин Виктор писал(а):
НО с
$R^*+…01$ ≠ 01 (и $R^*-…01$ ≠ 01).


Ну и что? Эти равенства НЕ ДОЛЖНЫ и НЕ МОГУТ выполняться. Если бы они выполнялись, это противоречило бы элементарной арифметике, причём, вне всякой связи с ВТФ. Откуда Вы их взяли?

P.S. Знак "не равно" кодируется в \TeX как \ne: $R^*+…01\ne 01$.


Подозреваю, что моё последнее доказательство неверно (статистика победила!). И Вы правы.
Однако в запасниках я нашел классическую идею для доказательства первого случая (число $abc$ не длится на $n$). (К сожалению, во втором случае метод как будто не работает.)
Вот это доказательство. Оно основано на том, что в равенстве Ферма двузначное окончание каждого из чисел совпадает с двузначным окончание их степени. Поэтому:

1° Умножим равенство на каждую положительную цифру в степени $nn$ (в базе с простым $n$) и затем
2° Сложим $n-1$ равенств.
А теперь подсчитаем 4-значное окончание результата.
Для начала положим, что третьи цифры у всех трех чисел равны нулю. Тогда четвертая цифра равенства (при нуле в правой части равенства), как легко подсчитать, равна $(n-1)/2$.
А если в числах есть третьи цифры отличные от нуля, то четвертые цифры в их степенях в итоге окажутся умноженными на ноль. Так что четвертая цифра (от конца) в левой части суммарного равенства остается равной $(n-1)/2$ при нуле в правой части равенства.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.07.2006, 03:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Сорокин Виктор
Цитата:
Подозреваю, что моё последнее доказательство неверно

И кто бы мог подумать!!!!
Цитата:
Умножим равенство на каждую положительную цифру...

Цитата:
Сложим n-1 равенств

А на нолик умножать не пробовали???
Или делить???
Архиинтересно!!! Посильнее Фауста, батенька!!!

Серьезно, Виктор, может, чуть попроверяете свои идеи, прежде, чем обнародовать!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: [b]Описание идеи доказательства ВТФ[/b]
Сообщение03.07.2006, 10:17 
Заморожен


27/05/05
251
Франция
Сорокин Виктор писал(а):
...Однако в запасниках я нашел классическую идею для доказательства первого случая (число $abc$ не длится на $n$). (К сожалению, во втором случае метод как будто не работает.)
Вот это доказательство. Оно основано на том, что в равенстве Ферма двузначное окончание каждого из чисел совпадает с двузначным окончание их степени. Поэтому:

1° Умножим равенство на каждую положительную цифру в степени $nn$ (в базе с простым $n$) и затем
2° Сложим $n-1$ равенств.
А теперь подсчитаем 4-значное окончание результата.
Для начала положим, что третьи цифры у всех трех чисел равны нулю. Тогда четвертая цифра равенства (при нуле в правой части равенства), как легко подсчитать, равна $(n-1)/2$.
А если в числах есть третьи цифры отличные от нуля, то четвертые цифры в их степенях в итоге окажутся умноженными на ноль. Так что четвертая цифра (от конца) в левой части суммарного равенства остается равной $(n-1)/2$ при нуле в правой части равенства.

++++++++++++++++
Немного поразмыслив, я пришел к выводу, что достаточно уможать равенство Ферма на цифры в степени $n$. Тогда каждая вторая цифра есть вторая цифра степени и ЗА ПРЕДЕЛАМИ ЭТОГО ЗНАЧЕНИЯ коррелирующая добавка равна нулю.
Теперь после суммирования $n-1$ равенств $a^n+b^n-c^n=0$ третья цифра результата в левой части есть $(n-1)/2$, а не ноль. Вот, как будто, и всё. Дело стоит за доказательством второго случая – с одним из оснований кратным $n$.

 Профиль  
                  
 
 Загадка
Сообщение03.07.2006, 10:23 
Заморожен


27/05/05
251
Франция
shwedka писал(а):
А на нолик умножать не пробовали???


Именно эта ИЛЛЮЗИЯ заставила меня когда-то отбросить замечательную идею.
++++++++++++++++
6 июля:
Судя по всему, не только Вы оказались не готовы объяснить и понять один момент:
почему мое доказательство ВТФ (для первого случая) не опровергает равенство 2+3=5 в системе счисления по основанию 7.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 645 ]  На страницу Пред.  1 ... 39, 40, 41, 42, 43  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group