2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Возрастающий многочлен на отрезке-2: новая параметризация
Сообщение10.11.2018, 13:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
В прошлый раз возникла задача об отыскании границ коэффициентов возрастающих многочленов $f(x)=a_1x_1+\dots+a_nx^n$ на отрезке $[0,1]$, где $f(0)=0$, $f(1)=1$, в связи с проблемой "перебора" таких многочленов (систематического или Монте-Карло). topic127069.html

Выяснилось, что во-первых, границы возможных значений коэффициентов найти непросто, во-вторых, бОльшая часть (в смысле объема пространства) многочленов с коэффициентами, лежащими в этих границах, не являются возрастающими и должны быть отбракованы, что замедляет "перебор".

Возникла идея их параметризации не коэффициентами, а значениями, в точках вида $k/n$, $1\le k\le n-1$, которые однозначно пересчитываются в коэффициенты (система линейных уравнений). Значения понятно в каких границах брать - от 0 до 1, и каждое следующее больше предыдущего.

Но и при этом, конечно, не все многочлены оказываются возрастающими.

В связи с этим вопрос: верно ли, например, что все такие многочлены лежат (по значениям на отрезке $[0,1]$) между $x^n$ и $1-(1-x)^n$? При $n=2$ это верно.

Какие еще можно предложить ограничения на значения для отбраковки лишних?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возрастающий многочлен на отрезке-2: новая параметризация
Сообщение02.01.2019, 22:59 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
alisa-lebovski в сообщении #1353039 писал(а):
в связи с этим вопрос: верно ли, например, что все такие многочлены лежат (по значениям на отрезке $[0,1]$) между $x^n$ и $1-(1-x)^n$? При $n=2$ это верно.

Построим контрпример. Пусть $n$ - нечетное. Запишем $f'(x)$ в виде:$f'(x)=A(x-\alpha )^{n-1}  \geq 0.$ Выберем $A$ так, чтобы выполнялось граничное условие при $x=1$. Получим:$$f(x)=\dfrac {(x-\alpha )^n+\alpha ^n}{(1-\alpha )^n+\alpha ^n}, f'(x)=\dfrac {n(x-\alpha )^{n-1}}{(1-\alpha )^n+\alpha ^n}$$ Отсюда:$$f'(1)=\dfrac {n(1-\alpha )^{n-1}}{(1-\alpha )^n+\alpha ^n}=\dfrac n{1-\alpha +\frac {\alpha ^n}{(1-\alpha )^{n-1}}}$$ При достаточно малых $\alpha , f'(1)>n$, отсюда следует, что при $x$ близких к 1 полином $f(x)<x^n$, поскольку для $x^n$ производная в точке 1 равна $n$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group