2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Классификация структур
Сообщение10.11.2018, 14:14 


06/04/18

323
Someone в сообщении #1352969 писал(а):
Понятие группы было сформулировано французским математиком Эваристом Галуа
Someone в сообщении #1352969 писал(а):
это понятие понадобится физикам
Someone в сообщении #1352969 писал(а):
Понятие группы адекватно формализует общее понятие симметрии
Что такое понятие группы и вообще понятие чего-либо? В имеете в виду сам термин?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация структур
Сообщение10.11.2018, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Qlin в сообщении #1353045 писал(а):
Что такое понятие
Понятие — это выделенный каким-либо образом класс объектов. Термин — это имя понятия.
Понятие группы, таким образом, это класс объектов, которые мы называем группами, а группа — элемент этого класса. На какой-либо конкретный объект этот термин не указывает. Если имеется в виду конкретная группа, она должна быть тем или иным способом выделена из всего класса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация структур
Сообщение10.11.2018, 17:38 


16/02/15
124
Slav-27 в сообщении #1352898 писал(а):
Это теория алгебраических систем: универсальная алгебра. Она соседствует с математическою логикою.

Спасибо, такое указание проясняет понимание. Структура - операции на множестве. А универсальная алгебра изучает такие структуры.
Slav-27 в сообщении #1352898 писал(а):
В некотором смысле можно построить всю математику, начав с одного только пустого множества (и имея на вооружении терию множеств).

А как при таком подходе реализуются изменения? Что их запускает? Или неявно присутствует бесконечное множество и операция "обратим внимание на эту часть"?
Slav-27 в сообщении #1352898 писал(а):
Вас, видимо, интересуют основания математики. И вы далеко не первый, кого они интересуют. Поэтому там уже напридумывали такую уйму всякого! Соответственно, шансов придумать что-либо новое у вас практически нет.

Известно ведь, что компьютер работает только тогда, когда ему всё подано как он хочет. Поэтому хочется понять, как ему подать математику. Но здесь встречаемся с некоторым барьером - математики не пишут доказательств для компьютера, а пишут для себя (для людей).
Slav-27 в сообщении #1352898 писал(а):
Так что если действительно интересно, поизучайте эту науку. Или просто поболтать желаете?

Если есть цель, то болтать нет времени. Но без отдыха тоже нет работы. В общем - может обойдёмся без неявных обвинений в праздности?
Slav-27 в сообщении #1352898 писал(а):
К сожалению или к счастью, алгебраических систем слишком много и они слишком разные, чтобы их можно было классифицировать, например, с помощью таблицы.

Надеюсь, что здесь вы неправы (как и многие другие). Но доказать, понятно, не могу. Основа всё же примитивная - операции на множестве. Доступна посетителю детского сада. Поэтому очень надеюсь на выявление простых структур и в производных от основы.
Slav-27 в сообщении #1352898 писал(а):
Что там все алгебраические системы; возьмём группы. Никакой полной классификации у них нет. Более того, доказано, что в некотором разумном смысле такая классификация принципиально невозможна.

Доказательство ведь работает на основе постановки вопроса. Описать систему в терминах системы - это не обязательно для множества практических применений. И "практическое применение" в виде понимания так же может этим воспользоваться, хочется надеяться. И моё понимание, как раз, проясняется после подобных ответов. Хотя стоит добавить - слегка проясняется.

-- 10.11.2018, 18:45 --

Munin в сообщении #1352908 писал(а):
Вы смотрите "слишком в общем". Математика так не делается. Математика занимается обобщением чего-то конкретного.

Возможно. Пока я оправдываюсь требованиями практики.
Munin в сообщении #1352908 писал(а):
alex55555 в сообщении #1352889 писал(а):
Поэтому нам ничто не мешает задать операцию выделения произвольного подмножества.

Это уже новая операция. Нарушено условие задачи.

Единица, множества и начинаем с одной операции. Далее строим математику, вводя при этом другие операции. Алгебраическим структурам не запрещено иметь любое количество операций. Порождение же носителя для новых операций выполняется при помощи одной единственной операции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация структур
Сообщение10.11.2018, 18:06 


06/04/18

323
alex55555 в сообщении #1353096 писал(а):
А как при таком подходе реализуются изменения? Что их запускает?
Какие изменения? Если подразумеваются не изменения, а построение новых объектов, то они строятся из пустого множества посредством применения тех или иных аксиом теории множеств.
alex55555 в сообщении #1353096 писал(а):
Или неявно присутствует бесконечное множество и операция "обратим внимание на эту часть"?
Бесконечное множество присутствует явно, если у вас есть аксиома бесконечности. Но эта аксиома избыточна, её можно удалить из аксиоматики и доказать как теорему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация структур
Сообщение10.11.2018, 18:10 


16/02/15
124
arseniiv в сообщении #1352916 писал(а):
когда мы хотим уместить в голове какое-то понятие, надо найти примеры вещей, входящих в него, как оно связано с другими и прочее, в этих связях общий смысл и польза понятия и лежит, и пользу обобщения не всегда видно, пока не рассмотришь достаточно конкретных реализаций.

Согласен. Но для обучающегося польза состоит в выборе направления (один из видов пользы). Поэтому указательные знаки на дороге очень даже пригодятся. А как иначе? Изучить всё-всё-всё? А так бывает?
arseniiv в сообщении #1352916 писал(а):
Так что от сложности тут никуда не уйти, а справиться с ней как и в любом случае помогают последовательность и терпение

Да, глубины откроются не сразу. Но всё же есть стойкое ощущение, что можно двигаться по асфальтированной дороге вместо пересечённой местности. Я виноват в том, что не потратил лет 5-10 на математику? Да, наверное. Но те, кто потратил, не потратили время на то, чем занимаюсь я. Хотя согласен, я здесь в положении просителя.
arseniiv в сообщении #1352916 писал(а):
оптимизировать беспредельно тут нельзя, некоторая сложность всегда останется, и иногда внушительная

Пусть останется "некоторая", а остальная уйдёт. Так ведь лучше?

Математики наработали множество алгоритмов, но применимость алгоритмов нереальна без наличия математиков. Оно понятно в нынешней системе "мотивации", но даже в ней есть другие примеры - программы (суть алгоритмы) пишут для использования без программистов. Хотя и там есть сложности у пользователей - и там им, бывает, приходится ходить на поклон к программистам.
arseniiv в сообщении #1352916 писал(а):
Плюс так как времени и ресурсов у нас пока не бесконечно, обычно приходится где-то жертвовать аккуратностью и срезать углы

Но всё же такой момент не может быть оправданием при рассмотрении абстрактных вещей. Абстракция изолирована от реализации.
arseniiv в сообщении #1352916 писал(а):
На самом деле в конечном итоге всё в (современной) математике утыкается в аксиоматические определения вида «утка — это то, что вот так выглядит и вот так крякает», так что наивный редукционизм «я пойму нечто, только представив его как структуру из более простых вещей» особого смысла не имеет — он не доводит до некоторого самоочевидного источника, он обрывается рано или поздно.

Описательный подход - это молодые науки. Потом следует этап классификации. Потом вводятся формулы (модели в общем случае). Далее просто всё решают на компьютерах. И да, последний этап пока не достигнут :)
arseniiv в сообщении #1352916 писал(а):
определение понимания — возможность манипулировать вещью в голове как угодно.

Согласен. Построение модели. А после неё - всё решают на компьютерах.
arseniiv в сообщении #1352916 писал(а):
И я уверен, что аккуратная практика ничем особенно не отличается от теории. Она отличается тем, что задачи приходят из реальности от людей, и кучей следствий из этого, вот и всё.

Мне кажется, что в физике можно устроить эксперимент, а вот в математике - вычислительная сложность мешает. Поэтому путь на практике сокращается экспериментом гораздо больше, чем в математике. Но зато на практике требования к результату жёсткие по времени.

-- 10.11.2018, 19:11 --

Someone в сообщении #1352969 писал(а):
Кстати, могу порекомендовать следующую книгу: А. В. Шубников, В. А. Копцик. Симметрия в науке и искусстве. "Наука", Москва, 1972.

Скачал. Буду читать. Спасибо.

-- 10.11.2018, 19:15 --

nya в сообщении #1352984 писал(а):
Более-менее есть только группы, кольца, кольца (алгебры) ли и модули. Группы - это обобщенные 'симметрии объекта', алгебры ли - это обобщенные 'дифференцирования объекта', кольца - это обобщенные 'функции на объекте', модули - это обобщенные 'векторные расслоения' (множества всех 'векторных полей') на объекте.

Познавательно. Добавляет описание результата к функции типа "изучаем алгебру Ли" (или другую).
nya в сообщении #1352984 писал(а):
Универсальная алгебра или теория категорий.

Да, спасибо, правда выше уже упоминалось.

-- 10.11.2018, 19:19 --

Someone в сообщении #1353078 писал(а):
Понятие — это выделенный каким-либо образом класс объектов.

То есть первый шаг в классификации. Потом должны появиться модели.

-- 10.11.2018, 19:25 --

Qlin в сообщении #1353100 писал(а):
alex55555 в сообщении #1353096 писал(а):
А как при таком подходе реализуются изменения? Что их запускает?
Какие изменения? Если подразумеваются не изменения, а построение новых объектов, то они строятся из пустого множества посредством применения тех или иных аксиом теории множеств.

Да, изменения есть появление новых объектов (или новой структуры в существующем сложном объекте).

Тогда получается, что нельзя начать с одного пустого множества. Нужно дать понятие множества непустого (в аксиомах, например), а затем ввести такое понятие в набор доступных для изучения объектов. А потом всё же ввести понятие операции, обозначенной как "применение тех или иных аксиом теории множеств". Или сразу сказать - берём пустое множество и все аксиомы теории множеств. Но может какие-то аксиомы при таком подходе станут избыточными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация структур
Сообщение10.11.2018, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
alex55555 в сообщении #1353101 писал(а):
Но всё же есть стойкое ощущение, что можно двигаться по асфальтированной дороге вместо пересечённой местности.

Так говорят все, кто начинают изучать что-то сложное. Они хотят попроще. Но проще не бывает. Всё равно некоторое количество знаний надо прочитать и уложить в голову. Это работа. И в отлаженных курсах и так уже проложены самые асфальтированные дороги, какие только можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация структур
Сообщение10.11.2018, 19:47 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Qlin в сообщении #1353100 писал(а):
Но эта аксиома избыточна, её можно удалить из аксиоматики и доказать как теорему.
Вы чего, это ж смотря где.

Qlin в сообщении #1353100 писал(а):
то они строятся из пустого множества посредством применения тех или иных аксиом теории множеств
Не только из пустого. Если мы говорим о теориях типа ZF-минус-I, из пустого можно настроить только т. н. наследственно конечные множества.

alex55555 в сообщении #1353101 писал(а):
А как иначе? Изучить всё-всё-всё? А так бывает?
В трансгуманистском идеале почему бы и нет. Если всё — это всё известное на данный момент среди остальных. Но к теме, конечно, это мало относится.

alex55555 в сообщении #1353101 писал(а):
Но всё же есть стойкое ощущение, что можно двигаться по асфальтированной дороге вместо пересечённой местности.
Ну так пересечённость может быть только в логистике, а не в самом, так сказать, теле, если мы говорим о довольно древних результатах, а не о bleeding edge, до которого в любом случае ещё идти. ут надо начинать конкретику, в абстрактном мы с вами дообсуждаемся до вопроса о числе ангелов на кончике иглы.

alex55555 в сообщении #1353101 писал(а):
Но всё же такой момент не может быть оправданием при рассмотрении абстрактных вещей. Абстракция изолирована от реализации.
Так при срезании углов как раз жертвуют нужным числом абстракций и получают, ну, то, что получают, что часто людям неудовлетворительно. Возможно, вы как раз жертва срезания углов в том, что читали, и потому не удовлетворены. Тут надо задать конкретный вопрос и вам можно будет посоветовать конкретную хорошую литературу. А так вы как раз приводите пример абстракции, изолированной от реализации. :D

alex55555 в сообщении #1353101 писал(а):
Описательный подход - это молодые науки.
А кто говорит про описательный подход? Это не описательный подход, это как раз вещь, возможная исключительно в математической науке: определить понятие в точности тем, что ему присуще (а что нет). В других мы заинтересованы в соответствии реальности, тут это не мешает.

Если вы программировали на языках с ООП и интерфейсами (или абстрактными классами, но интерфейсы в этом плане лучше, они свободнее), вы можете соотнести абстрактные математические понятия с последними.

alex55555 в сообщении #1353101 писал(а):
а вот в математике - вычислительная сложность мешает
Я не уверен, что к практическим вопросам математические наблюдения относятся как-то больше, чем к непрактическим. В любом случае они дают нам только идеи (это большой плюс и почти единственная причина делать численные эксперименты вообще), но не дают доказательств.

Я бы ещё сказал, что модели не сводятся к классификации, и что математические теории сами по себе и есть «модели», ибо они представляют собой точное описание соответствующей «математической реальности». Проблема не в том что нет моделей, проблема изучения в том, чтобы создать адекватную для нашей ограниченной в средствах голове внутренней модели на основе точно описанной математической, чтобы мы могли ею оперировать. И про эту проблемы выше я и другие уже понаписали, она в сущности поведенческая и для каждого конкретного человека отдельная, а не какая-то более глубокая и разрешимая для всех сразу волшебной таблеткой.

В общем когда пойдёт конкретика, можно будет добавить что-то полезное, а так это в основном переливание воды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация структур
Сообщение10.11.2018, 20:54 


06/04/18

323
alex55555 в сообщении #1353101 писал(а):
Тогда получается, что нельзя начать с одного пустого множества. Нужно дать понятие множества непустого (в аксиомах, например), а затем ввести такое понятие в набор доступных для изучения объектов. А потом всё же ввести понятие операции, обозначенной как "применение тех или иных аксиом теории множеств".
Вы путаете аксиоматику, определения и вывод. Пустое множество — определяемое понятие, его можно выразить средствами исходного языка. Непустые множества строятся с применением аксиом, то есть про них доказываются теоремы. Синтаксическая операция, обозначенная как "применение тех или иных аксиом теории множеств" — это вывод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация структур
Сообщение10.11.2018, 21:19 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Qlin
Боюсь, эта ветка разговора вообще только запутает ТС. При том, что она опять же не в должной степени аккуратна.

«Строятся» множества только в том смысле, что мы имеем возможность доказать существование и единственность объекта с соответствующим свойством, и если мы сразу докажем довольно общие теоремы такого вида, мы можем навводить функциональных символов ненулевой арности и в более традиционном смысле строить из этих функциональных символов термы, обозначающие множества, при этом ничего уже специально для этого не доказывая.

Qlin в сообщении #1353141 писал(а):
Синтаксическая операция, обозначенная как "применение тех или иных аксиом теории множеств" — это вывод.
Ну нет же. Аксиомы вообще не применяются, они как раз листья в дереве вывода. Применяются правила вывода. (То есть мы конечно можем поднять любую аксиому до соответствующего правила, но если тривиальным образом, ничего не поменяется: будут нульместные.) Плюс на вывод для языков первого порядка обычно накладываются ограничения, так что это даже не просто применение правил вывода к выводам меньшей длины конечное число раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация структур
Сообщение11.11.2018, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Qlin в сообщении #1353100 писал(а):
Бесконечное множество присутствует явно, если у вас есть аксиома бесконечности. Но эта аксиома избыточна, её можно удалить из аксиоматики и доказать как теорему.
С чего бы вдруг?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация структур
Сообщение11.11.2018, 02:49 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
alex55555
Плохо (или почти никак) понимая сам предмет (в данном случае математику), размышлять о каких-то предельно общих, философских вещах относительно данного предмета --- чрезвычайно неполезно. Лучше умственно освоить что-то небольшое конкретное. Выше Someone рекомендовал хорошую книжку. Я позволю себе рекомендовать еще одну: Э.Фрид, Элементарное введение в абстрактную алгебру. Она, правда, посложнее и поабстрактнее, но, в принципе, тоже о симметриях, и об алгебраических структурах. Сначала долго обсасывается понятие группы (и полугруппы тоже), а потом идут векторные пространства, поля и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация структур
Сообщение11.11.2018, 04:10 


06/04/18

323

(arseniiv, Someone)

В KP одна из аксиом избыточна: либо бесконечности, либо пустого множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация структур
Сообщение11.11.2018, 09:38 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
alex55555
Посмотрел другую Вашу тему, что пять дней назад писали. Однозначно, Вам две вышеупомянутые книжки показаны. Всё прочее, что Вы писали в этой теме --- совершенно малоосмысленные речи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация структур
Сообщение11.11.2018, 15:02 


16/02/15
124
Munin в сообщении #1353108 писал(а):
Так говорят все, кто начинают изучать что-то сложное. Они хотят попроще. Но проще не бывает.

Стандартная проблема "отстающих" - они упустили очередной кирпич в основании башни знаний, а потом им не на что опереться. Мне бы хотелось, что бы этот пропущенный кирпич можно было бы легко найти. А сказать "плите, Шура, пилите" ... ну в общем вы поняли.

Но я совсем не против напрячься, если вы (как и ряд других участников) считаете меня ленивым.

-- 11.11.2018, 16:36 --

arseniiv в сообщении #1353114 писал(а):
Возможно, вы как раз жертва срезания углов в том, что читали, и потому не удовлетворены. Тут надо задать конкретный вопрос и вам можно будет посоветовать конкретную хорошую литературу.

Да, с конкретикой, я надеюсь, как-нибудь зайду сюда снова :)
arseniiv в сообщении #1353114 писал(а):
Это не описательный подход, это как раз вещь, возможная исключительно в математической науке: определить понятие в точности тем, что ему присуще (а что нет).

Да, в точности утка - это утка. Но в такой точности она сложнее, чем утка из отряда водоплавающих семейства утиных. Фотография важна, когда речь о конкретике, но мы же говорим об обучении, где не применимо перечисление фотографий уток, но вполне применимо указание на дерево видов и семейств живых организмов.
arseniiv в сообщении #1353114 писал(а):
Если вы программировали на языках с ООП и интерфейсами (или абстрактными классами, но интерфейсы в этом плане лучше, они свободнее), вы можете соотнести абстрактные математические понятия с последними.

Вообще-то ближе понятие класса, включающего и данные (множество, элементы) и поведение (операции).
Интерфейс же показывает лишь операции. И хотя по ним можно вывести данные, но наличие данных в готовом виде на многие порядки может сократить потребность в вычислениях. В переложении на понимание - одних операций мало, нужны промежуточные результаты в виде неких структур данных, потому что иначе обучение будет очень долгим.
arseniiv в сообщении #1353114 писал(а):
они дают нам только идеи (это большой плюс и почти единственная причина делать численные эксперименты вообще), но не дают доказательств.

Простым перебором можно доказать или опровергнуть множество теорем, но при наличии достаточных вычислительных мощностей.
arseniiv в сообщении #1353114 писал(а):
Я бы ещё сказал, что модели не сводятся к классификации, и что математические теории сами по себе и есть «модели», ибо они представляют собой точное описание соответствующей «математической реальности».

Да, безусловно. Классификация - лишь этап на пути к моделям.
arseniiv в сообщении #1353114 писал(а):
Проблема не в том что нет моделей, проблема изучения в том, чтобы создать адекватную для нашей ограниченной в средствах головы внутренней модели на основе точно описанной математической, чтобы мы могли ею оперировать.

Именно с этим я и сталкиваюсь, когда пытаюсь представить некую модель в голове, но она "не работает" из-за отсутствующих деталей. Банальное разнообразие (вольность) в использовании математических знаков приводит к неработоспособности программы в голове. И редко бывает так, что авторы сначала поясняют смысл знаков, и лишь потом рассказывают о их применении. Как минимум я на это часто обращал внимание, хотя, математически выражаясь, количество может быть весьма скромным. Но спрашивать про каждый знак здесь - просто гигантские объёмы потребуются. Поэтому упрощённые книги выглядят привлекательно. Но в них другая проблема - бывает много воды. В результате пробовал читать разные книги и в классических (Холл) быстро сталкивался с "неразжёванными" знаками или переходами между понятиями. А в менее рекомендованных в качестве учебников (Курош) встречал более вменяемые пояснения, но там другая проблема - такие книги считают более энциклопедическими, что ли, то есть не вводящими в предмет, а скорее справочного назначения. В других альтернативных вариантах присутствует много "специфического", как например масса примеров групп на основе тех разделов математики, которых я никогда не касался. В общем оптимальное чтение пока не нашёл, но вижу плюсы и минусы как в упрощённых, так и в сложных вариантах. Поэтому предложения почитать сначала что-то простое не всегда считаю правильным, ведь там возникнет серьёзная проблема - не упустить (не забыть) определения десятков понятий за пространными рассуждениями о простом, отвлекающими от определений и старательно забивающими их в памяти. Может вы с таким сталкивались? Нашли какой-то компромисс?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация структур
Сообщение11.11.2018, 15:38 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Qlin)

Qlin в сообщении #1353226 писал(а):
В KP одна из аксиом избыточна: либо бесконечности, либо пустого множества.
1. Блин, еле догадался, что это теория Крипке—Платека. Ну так вы бы сразу писали об этом, а то кто-нибудь же решит, что вы обо всех теориях множеств говорите (или о тех, которые обычно используются в качестве основания, когда возникает нужда лезть в основания).
2. Не «либо». У вас не получится доказать аксиому бесконечности из остальных аксиом не только KP, но даже и ZF и ZFC. Существует модель ZFC без I с «аксиомой конечности» («никакое собственное подмножество множества не равномощно ему») — $V_\omega$, множество наследственно конечных множеств, я о них выше даже писал.

Ну почему вы сами не проверяете то, что пишете, почему это должны делать другие? :-(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group