Возможно ли обобщить неравенство?

[TR63]

При решении неравенства из "Олимпиадного раздела" возникла подозрительно простая идея (а там доказательство далёкое от простого). Идея заключается в следующем: для положительных $(a,b,c)$

1). $f=f(a,b,c)=f_1+f_2+f_3>0$,
$f_1>0$, $f_2>0$, $f_3>0$

2). $\varphi(a,b,c)=\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3=\alpha>0$,
$\varphi_1>0$, $\varphi_2>0$, $\varphi_3>0$

Ищется $\min{f(a,b,c)}$.

Известно: может быть доказано, что $\min{f(a,b,c)}$ достигается только при $a=b=c$ и, не ограничивая общности, можно считать, что $a\ge c\ge b$, $a\ge1$, $b\le1$.
Тогда область определения в пункте $(2)$ можно представить как $I=I_1+I_2$, где
$I_1=I_1(a\ge1, b<c<1)$
$I_2=I_2(a\ge1, b\le1, c\ge1)$

Может быть доказано, что в области $I_1$ при $a=b=c$ не существует $\min{f}$, т.к. в этой области не определена $\varphi$ при $a=b=c$. Тогда

$$\min{f}_I=\min{{f}_{I_2}}$$

(если существует).

Если идея верна логически, то можно сделать такое обобщение: для положительных $(a,b,c)$

$f=\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}$

при $a^n+b^n+c^n+abc=4$

$\min{f}=\min{{f}_{I_2}}$

Моя попытка обосновать это:

1). Из АМ-ГМ следует, что $\min{f}$ достигается только при $a=b=c$.
2).В области $I_1$ $\min{f}$ не достигается, т.к. при $a=b=c$ не определена $\varphi$

Вывод: $\min{f}=\min{{f}_{I_2}}$

Если рассуждения не корректны, то прошу объяснить, где именно (желательно привести контрпример), т.к. я ошибки не вижу.