2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос про квантовые числа m и l
Сообщение13.10.2018, 18:07 


28/08/13
521
У Бома в его "Квантовой теории" оператор момента импульса исследуется с помощью повышающих и понижающих операторов $\hat{L}_x\pm i\hat{L}_y,$ на этом пути обнаруживается, что магнитное кв. число m ограничено сверху и снизу числами $m_1$ и $m_2$. Для их нахождения подействуем на соотв. собственные функции $\psi_{m_1}$ и $\psi_{m_2}$ оператором $\hat{L}^2,$ в итоге получатся уравнения $$\hat{L}^2\psi_{m_1}=\hbar m_1(m_1+1)\psi_{m_1} \quad (14.33)$$ и
$$\hat{L}^2\psi_{m_2}=\hbar m_2(m_2-1)\psi_{m_2}, \quad (14.34)$$
откуда делается вывод, что если они справедливы одновременно, то д.б. $m_2=-m_1$ или $m_2=m_1+1.$ Второй вариант отбрасывается, т.к. $m_1=\sup\{m\},$ ну и обозначаем $m_1=l, \quad m_2=-l.$ Это решения квадратного уравнения $m_2^2-m_2=m_1^2+m_1,$ но вот что не ясно - почему оно вообще должно иметь место, ведь функции $\psi_{m_1}$ и $\psi_{m_2}$ не обязаны быть равными, по крайней мере до этапа их нахождения через присоединённые полиномы Лежандра рассуждать на эту тему как-то не очень?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про квантовые числа m и l
Сообщение13.10.2018, 18:34 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Ascold в сообщении #1345964 писал(а):
но вот что не ясно - почему оно вообще должно иметь место,
Потому что это квадрат углового момента, который не меняется (так как квадрат момента коммутирует с компонентами).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про квантовые числа m и l
Сообщение13.10.2018, 18:41 


28/08/13
521
Slav-27 в сообщении #1345965 писал(а):
Потому что это квадрат полного углового момента, который не меняется (так как квадрат момента коммутирует с компонентами).

Можете чуть развернуть Вашу мысль - он коммутирует с $\hat{L}_z,$ например, значит, у них общий набор собственных функций. Но как из этого следует, что $\hat{L}^2\psi_{m_1}=\hat{L}^2\psi_{m_2}?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про квантовые числа m и l
Сообщение13.10.2018, 18:48 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Чем мы вообще занимаемся? Мы берём общее собственное состояние для $\hat L^2$ и $\hat L_z$ и действуем на него повышающими и понижающими операторами. Они коммутируют с $\hat L^2$ и поэтому не меняют квадрат углового момента, а проекцию на ось $z$ чудесным образом меняют на единичку. Может ли это длиться до бесконечности? -- Нет: есть максимальное значение проекции, которое повышающий оператор уже не может повысить, и минимальное, которое понижающий не может понизить.

-- 13.10.2018, 19:51 --

Эти $m_1=-m_2=m$ зависят, конечно, от значения квадрата момента, которое изначально фиксировано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про квантовые числа m и l
Сообщение13.10.2018, 23:13 


28/08/13
521
Благодарю, теперь понял - путаница у меня возникла оттого, что у Бома и оператор квадрата момента, и его собственное значение обозначается без различий символом $L^2$.

(Оффтоп)

На самом деле, я споткнулся об это $L^2$ ещё несколько лет назад при изучении КМ, всё собирался разобраться, и вот этот день настал - с помощью Slav-27 на меня снизошло просветление.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group