Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Здорово!
Ну, а составной квадрат 12-го порядка точно таким же образом?
Квадрата 5-го порядка из разных составных смитов у нас нет
Итак, ещё раз повторяю нерешённые задачи:
Задача №1. Построить нетрадиционный магический квадрат 5-го порядка из разных простых чисел с минимальной магической константой (число 1 простым не считать!).
Задача №2. Построить нетрадиционный магический квадрат 5-го порядка из разных составных смитов с минимальной магической константой.
Задача № 3. Построить составной нетрадиционный магический квадрат 12-го порядка из разных составных смитов с минимальной магической константой.
Задача № 4. Построить нетрадиционный магический квадрат 4-го порядка из смитов, образующих арифметическую прогрессию.
Эта задача для порядка 3 решена Бодигримом. Единственно ли это решение? Может быть, кто-нибудь найдёт другие решения.

Задача № 3 для порядка 8 решена tolstopuz'ом, однако остальные могут её решать. Только большая просьба не публиковать нигде её решение пока (задача предложена на одном проекте; если её там примут, тогда пошлёте туда своё решение).
Эта же задача для порядка 9 только что решена опять же tolstopuz'ом. Он пишет, что решение не единственно. Так что можно предложить другие решения этой задачи.

[Бодигрим]

Nataly-Mak в сообщении #230021 писал(а):

Эта задача для порядка 3 решена Бодигримом. Единственно ли это решение? Может быть, кто-нибудь найдёт другие решения.

Нет, далеко не единственно. Скорее всего, решений бесконечно много, но доказать это без солидного теоретического исследования чисел Смита не удастся. Вот, например, еще прогресии длины 9:

 9895 139765 269635 399505 529375 659245 789115 918985 1048855 
61645 285295 508945 732595 956245 1179895 1403545 1627195 1850845 
625774 659434 693094 726754 760414 794074 827734 861394 895054 
817015 1289965 1762915 2235865 2708815 3181765 3654715 4127665 4600615 
832954 1196878 1560802 1924726 2288650 2652574 3016498 3380422 3744346

и замечательная прогрессия из 10 элементов:

502015 504715 507415 510115 512815 515515 518215 520915 523615 526315

[tolstopuz]

Бодигрим в сообщении #230092 писал(а):

Вот, например, еще прогресии длины 10:

и замечательная прогрессия из 11 элементов:

К сожалению, в каждом из ваших примеров последнее число лишнее. Типичная программистская ошибка

[Бодигрим]

tolstopuz в сообщении #230095 писал(а):

Типичная программистская ошибка :)

Исправил. Спасибо.

-- 03:56 20.07.2009 --

Nataly-Mak в сообщении #230021 писал(а):

Задача №1. Построить нетрадиционный магический квадрат 5-го порядка из разных простых чисел с минимальной магической константой (число 1 простым не считать!).

Из теоретических соображений ясно, что 2 не может входить в квадрат 5-го порядка, откуда нижняя оценка минимальной возможной суммы - это $(p_2+...+p_26)/5=231.8$.

Если только моя программа не ошибается, то минимальная магическая константа - 265, а один из соответствующих ней квадратов имеет вид

     7    13     3   103   139
    61    67    89    37    11
    41    97    53    43    31
   137    17    47    59     5
    19    71    73    23    79

[Nataly-Mak]

Бодигрим, здорово у вас получается с прогрессиями. А что с прогрессией длины 16? Пока не находится такая? Последняя прогрессия длины 10 действительно очень симпатичная. Составлю из неё один квадратик:

504715 518215 515515
523615 512815 502015
510115 507415 520915

[Бодигрим]

Nataly-Mak в сообщении #230100 писал(а):

А что с прогрессией длины 16? Пока не находится такая?

Нет, не находится. И ИМХО вряд ли найдется в обозримом будущем. Разве что случайно очень-очень повезет.

[Nataly-Mak]

Цитата:

Из теоретических соображений ясно, что 2 не может входить в квадрат 5-го порядка...

Число 2 не может входить не только в квадрат 5-го порядка, а также в магический квадрат любого порядка, составленный из разных простых чисел.
Восхищена вашим решением! Мне пока не удалось решить задачу. Я пыталась, но моя программа выполняется очень долго. Думаю, что это действительно минимальный квадрат 5-го порядка из различных простых чисел (в классическом определении).
Что же, можно предлагать следующую задачу:
Задача № 5. Построить нетрадиционный магический квадрат 6-го порядка из различных простых чисел (в классическом определении) с минимальной магической константой.

[tolstopuz]

Надоело ждать - перевел программу поиска прогрессий с питона на C#. Ускорение кардинальное.

1908050 9663350 17418650 25173950 32929250 40684550 48439850 56195150 63950450 71705750 79461050
15824362 16004542 16184722 16364902 16545082 16725262 16905442 17085622 17265802 17445982 17626162

Это уже 11. Но до 16 вряд ли удастся дойти. Найти бы хоть 12.

[Nataly-Mak]

Не отчаивайтесь! Будет и 16! Мой девиз: "Не решил сегодня, решишь завтра." Работает!
Я сейчас попробовала составить программу генерации шести последовательностей из 6 простых чисел каждая, чтобы сумма чисел в каждой последовательности была одинакова. Строк генерируется море, но вот чтобы 6 строк, все из разных чисел, а сумма в каждой строке одинаковая, таких программа пока не нашла.
В книге Чебракова (стр. 305) приведён пример пострения квадрата 6х6 из простых чисел. Но или я чего-то не так понимаю, или у него опять ошибки, но квадрат у меня не получается. Сейчас ещё раз проверю с карандашом на листе бумаги. Когда я заполняю вспомогательную символьную таблицу, у меня получается в этой таблице два одинаковых числа 173. Но ведь одинаковых чисел, как я понимаю, быть не должно.

[tolstopuz]

Nataly-Mak в сообщении #230110 писал(а):

Не отчаивайтесь! Будет и 16!

Внимательно посмотрите на прогрессии из 10 и 11 чисел. Как легко заметить, числа во второй прогрессии раз в 30 больше первых. Теперь увеличьте вторые числа еще раз в 30 - где-то там будет ожидаться прогрессия из 12 чисел. А я могу с разумной скоростью проверять только числа до полмиллиарда (или до миллиарда, если докуплю еще четыре гигабайта памяти). Сделайте выводы.

[Nataly-Mak]

А вы посмотрите на прогрессию длины 16 из простых чисел:
$17+11387819007325752*30030*n$, $n=1,2,...,16)$!
Миллиарды перед этими числами просто крохотулечки
***
Ориентир для решения задачи № 5 – наименьший квадрат 6х6 из простых чисел с использованием числа 1 (квадрат из книги Чебракова по этой ссылке: http://chebrakov.narod.ru/ ):

127 3 47 23 59 149
83 43 137 73 5 67
19 89 29 61 173 37
97 31 79 107 53 41
71 103 7 13 101 113
11 139 109 131 17 1

Магическая константа этого квадрата равна 408.
Кстати, наименьший квадрат 5-го порядка из простых чисел с использованием 1 у Чебракова приведён такой:

13 61 103 31 5
71 1 17 83 41
23 79 37 7 67
47 29 53 73 11
59 43 3 19 89

Магическая константа равна 213.
Для оценки нижнего значения магической константы квадрата 6х6 из разных простых чисел в классическом определении надо поступить точно так же, как сделал Бодигрим для квадрата 5х5: сложить первые 36 нечётных простых чисел и разделить полученную сумму на 6. Полученное значение для оценки: 430,3(3).

[tolstopuz]

Nataly-Mak в сообщении #230115 писал(а):

А вы посмотрите на прогрессию длины 16 из простых чисел:
$17+11387819007325752*30030*n$, $n=1,2,...,16)$!
Миллиарды перед этими числами просто крохотулечки

Там есть и другой результат:

$53297929 + 323\cdot13\#\cdot n (198793279)$

Такого размера числа я в состоянии найти.

Кстати, длина 12 все же нашлась в пределах ста миллионов:

78090295 79929895 81769495 83609095 85448695 87288295 89127895 90967495 92807095 94646695 96486295 98325895

Есть шанс на 13 до миллиарда.

-- Пн июл 20, 2009 08:30:27 --

Еще пара десяток с меньшим начальным числом:

66672 49509072 98951472 148393872 197836272 247278672 296721072 346163472 395605872 445048272
143698 23604718 47065738 70526758 93987778 117448798 140909818 164370838 187831858 211292878

А еще вот такие 11:

472594 72713290 144953986 217194682 289435378 361676074 433916770 506157466 578398162 650638858 722879554
489595 97182895 193876195 290569495 387262795 483956095 580649395 677342695 774035995 870729295 967422595

[Nataly-Mak]

tolstopuz в сообщении #230116 писал(а):

Там есть и другой результат:
$53297929 + 323\cdot13\#\cdot n (198793279)$

Не поняла запись прогрессии этого варианта. Знак праймориал мне понятен. А что означает число 198793279 в скобках?

[tolstopuz]

Nataly-Mak в сообщении #230117 писал(а):

tolstopuz в сообщении #230116 писал(а):

Там есть и другой результат:
$53297929 + 323\cdot13\#\cdot n (198793279)$

Не поняла запись прогрессии этого варианта. Знак праймориал мне понятен. А что означает число 198793279 в скобках?

Последний член, просто для справки.

[Nataly-Mak]

Спасибо, поняла.
У меня есть идея. А что если смешать простые и составные смиты? Может быть, в таком массиве чисел прогрессия длиной 16 быстрее найдётся? Но тогда, разумеется, дополнительное условие: прогрессия должна состоять не из одних простых чисел, а содержать и составные смиты.
(Согласно определению чисел-смитов все простые числа тоже являются смитами. Так?)