2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение14.09.2018, 12:04 


05/09/16
11453
mihiv в сообщении #1338885 писал(а):
Найдем, например,

А можно для примера найти для сравнимых $b$ и $n$, $\int \limits_{0}^5 \sin(x) \sin(100/x)dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение14.09.2018, 12:21 
Заслуженный участник


03/01/09
1676
москва
Этот способ лучше работает для небольших $b$ и больших $n$. Найдем $\int \limits _0^1 ,n=100$. По формуле (1) при $k=1, I\approx 10^{-2}\sin1\cos 100\approx 7.26\cdot 10^{-3 }$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение14.09.2018, 12:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9459
Москва
wrest в сообщении #1338859 писал(а):
Евгений Машеров в сообщении #1338837 писал(а):
Ну, я предположу, что объясняется тем, что стандартные процедуры интегрирования используют равномерную сетку.

В документации на PAR/GP написано что используется "double-exponential method".
Так что вряд ли это означает обычные прямоугольники (или трапеции).


Насколько я понимаю, это предложенный Такахаши и Мори способ выбора точек для метода трапеций, позволяющий считать интегралы с бесконечными пределами.
https://www.ems-ph.org/journals/show_pd ... =3&rank=12

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение14.09.2018, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4317
А можно уточнить, всё же, задачу? А то многие тут берут нижний предел $0$, хотя ТС (после введения $n$) объявил его $1$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение14.09.2018, 13:15 


12/09/18
39
Geen в сообщении #1338905 писал(а):
А можно уточнить, всё же, задачу? А то многие тут берут нижний предел $0$, хотя ТС (после введения $n$) объявил его $1$...

Вообще 0 не нужен, но если можем посчитать от нуля, то от единицы тоже легко посчитаем.

mihiv в сообщении #1338895 писал(а):
Этот способ лучше работает для небольших $b$ и больших $n$.

Спасибо большое, очень конструктивное предложение. У нас $b$ действительно значительно меньше $n$, правда не настолько. Для $n=100$, например, $b=15$. Не знаю "то" это или не "то", но сходимость вроде бы неплохая должна быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение14.09.2018, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4317
Student2018 в сообщении #1338908 писал(а):
Вообще 0 не нужен, но если можем посчитать от нуля, то от единицы тоже легко посчитаем.

Ну просто с $1$ немного более симметрично получается. Например (если "забыть" про экспоненциальный множитель) так http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5BSin%5BExp%5B3%2Bx%5D%5D*Sin%5BExp%5B3-x%5D%5D,+%7Bx,-3,3%7D%5D

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение15.09.2018, 16:26 


12/09/18
39
mihiv
Ваша формула работает, правда сходимость быстро ухудшается с увеличением $b$. В любом случае это лучшее решение. Скажите, можно где-нибудь посмотреть как она выводится, или хотя бы откуда она?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение16.09.2018, 11:25 
Заслуженный участник


03/01/09
1676
москва
Student2018 в сообщении #1339173 писал(а):
как она выводится, ?


Просто интегрируем по частям: $$I_n=\int \limits _0^b\sin x\cdot \sin \frac nxdx=\frac 1n\int \limits _0^bx^2\sin x\cdot (\frac n{x^2}\sin \frac nx)dx=\frac 1nF_1(x)\cos \frac nx|\limits _0^b-\frac 1n\int \limits _0^bF_1'(x)\cos \frac nxdx$$Затем берем по частям интеграл с $F_1'$ и т.д., всего $k$ раз. В результате получим:$$I_n=\frac 1nF_1(b)\cos \frac nb +\frac 1{n^2}F_2(b)\sin \frac nb-\frac 1{n^3}F_3(b)\cos \frac nb-\dots +\dfrac {(-1)^{\frac {k(k+1)}2}}{n^k}R_k$$Знаки перед обратными степенями $n$ идут в таком порядке:$+,+,-,-$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ну очень сложный интеграл
Сообщение16.09.2018, 13:08 


12/09/18
39
mihiv
Все ясно. А у меня со знаками были проблемы и интеграл в начале сокращался :shock: Теперь дошло. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group