Ну очень сложный интеграл

[Student2018]

Евгений Машеров
Про $n$ забыли. Если $n=10^6$ хотя бы, то сколько мы так считать будем? А он ведь и больше может быть... Скорее всего надо как-то колдовать с рядами, сводить к гипергеометрическому, который быстро считается. Только вот я в этом не силен.

[Евгений Машеров]

В исходном посте было $0<a<b<1$ и $int_a^b \sin(x)\sin(\frac 1 x) dx
А в общем случае, если $\int_a^b \sin(x)\sin(\frac n x) dx - да, долго считать будет, при $n=10^6$

[Student2018]

В исходном я для простоты $n$ убрал.

[Евгений Машеров]

При таком большом n может быть и проще. Усредняться будет.

[wrest]

Вот у меня PARI/GP численно считает что
$\int \limits_{10^{-20}}^5 \sin(x) \sin(100/x)dx \approx -0,116499$
а вольфрам дает $-0,116523$ ссылка https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sin(x)*sin(100%2Fx)dx+from+10%5E(-20)+to+5

Расхождение в 5-м знаке это криминал, помойму.

Попробовал поискать еще онлайн сервисы для численного интегрирования, но они поголовно списывают у вольфрама.

Хотелось бы получить хотя бы 8 (а лучше 10-12) надежных знаков после запятой (и лучше бы конечно с нижним пределом равным нулю, хотя ответ у вольфрама при подстановке туда нуля не меняется), что бы "поиграться" с PARI/GP

[Student2018]

Численное решение это как на пальцах миллионы перемножать. Вместо того чтобы годами загибать пальцы, можно за минуту посчитать столбиком. Для этого интеграла скорее всего такой "столбик" существует, просто никто об этом не знает.

[Евгений Машеров]

Student2018 в сообщении #1338632 писал(а):

Для этого интеграла скорее всего такой "столбик" существует, просто никто об этом не знает.

Или не существует.

(Оффтоп)

Чем женщина отличается от интеграла?

[VPro]

Выведем функциональные уравнения для первообразных. Обозначим

$I_1(x)=\int{\sin x \sin\frac1x dx}$, $I_2(x)=\int{\cos x \cos\frac1x dx}$,

$J_1(x)=\int{\cos\left( x-\frac{1}{x}\right) dx}$, $J_2(x)=\int{\cos\left( x+\frac{1}x\right) dx}$,

$L_1(x)=\int{\cos\left( x-\frac1x\right)\frac1{x^2}dx}$, $L_2(x)=\int{\cos\left( x+\frac1x\right)\frac1{x^2} dx}$,
Тогда

$I_1(x)=\frac{J_1(x)-J_2(x)}2$, $I_2(x)=\frac{J_1(x)+J_2(x)}2$,

$L_1(x)=-J_1\left(\frac1x\right)$, $L_2(x)=-J_2\left(\frac1x\right)$.

Далее запишем

$J_1(x)+L_1(x)=\int{\cos\left( x-\frac1x\right)\left(1+\frac1{x^2}\right)dx}=\sin\left( x-\frac1x\right)$,

$J_2(x)-L_2(x)=\int{\cos\left( x+\frac1x\right)\left(1-\frac1{x^2}\right)dx}=\sin\left( x+\frac1x\right)$.

В результате получена система функциональных уравнений

$J_1(x)-J_1\left(\frac1x\right)=\sin\left( x-\frac1x\right),$

$J_2(x)+J_2\left(\frac1x\right)=\sin\left( x+\frac1x\right).$

[Евгений Машеров]

Student2018 в сообщении #1338584 писал(а):

Если $n=10^6$ хотя бы, то сколько мы так считать будем?

Кажется мне, что для $n=10^6$ как раз проще будет. Второй сомножитель высокочастотно осциллирующий. Первый на периоде его изменения можно полагать постоянным. И тогда сведётся к $int \sin(1/x)dx=int \frac 1 {y^2}\sin y dy= Ci(x) - \sin(x)/x + constant$, причём второе слагаемое на концах обращается в 0.
Вот когда аргумент синуса

(Оффтоп)

следует совету атамана Платова: "Не пей мало, не пей много, а пей средственно!"

принимает в обоих сомножителях умеренные значения...

[mihiv]

Для больших $n$ может помочь интегрирование по частям:

$$\int \limits _0^b\sin x \sin \frac nxdx=\left (\sum \limits _{m=1}^k\frac 1{n^m}F_m(x)\right )\right |_0^b+\frac 1{n^k}R_k(x),\qquad (1)$$

$\text {где}F_m=x^2F'_{m-1}(x), F_1(x)=x^2\sin x, R_k(x)=\int \limits _0^bF'_k(x)\cos \frac nxdx, \text {для нечетных}k, R_k(x)=\int \limits _0^bF'_k(x)\sin \frac nxdx,\text {для четных} k. $

Нижняя подстановка в (1) равна 0. Отбрасывая слагаемое с $R_k(x)$ получим приближенное значение интеграла, при этом погрешность легко оценить.

[Евгений Машеров]

wrest в сообщении #1338625 писал(а):

Вот у меня PARI/GP численно считает что
$\int \limits_{10^{-20}}^5 \sin(x) \sin(100/x)dx \approx -0,116499$
а вольфрам дает $-0,116523$ ссылка https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sin(x)*sin(100%2Fx)dx+from+10%5E(-20)+to+5


Расхождение в 5-м знаке это криминал, помойму.

Ну, я предположу, что объясняется тем, что стандартные процедуры интегрирования используют равномерную сетку. Которая достаточна и даже избыточна при больших x, а вблизи нуля данная функция осциллирует очень уж быстро, и незначительные расхождения точек, в которых вычисляется функция (или разное, хотя и близкое их число) приводит к тому, что вблизи нуля попадаем в разных программах в точки, пусть даже и близкие по координате, но сильно отличающиеся по значению, даже по знаку функции. Что и даёт расхождение. Тут надо бы переменный шаг вводить, и, возможно, разбивать промежуток интегрирования на кусочки (возможно, выбор разбиения по нулям второго сомножителя не лучший, но работать должен).

[Student2018]

Евгений Машеров в сообщении #1338771 писал(а):

Второй сомножитель высокочастотно осциллирующий. Первый на периоде его изменения можно полагать постоянным.

То есть можно полагать постоянным, но только с некоторой точностью, относительно общего значения интеграла, так ведь? Иначе искомый интеграл был бы равен предложенному приближению. Но он ему не равен. А значит при вычислении я потеряю разряды. Либо надо будет разбивать на все более мелкие промежутки. Получается почти что численное решение.

mihiv в сообщении #1338828 писал(а):

Для больших $n$ может помочь интегрирование по частям

Интересно, а как зависит количество слагаемых в сумме, то есть число $k$ от $n$, скажем для получения точности в $\log(n)$ разрядов? Сумма берется по тригонометрическим функциям, и сходимость должна быть хорошая по идее?

VPro в сообщении #1338733 писал(а):

В результате получена система функциональных уравнений

Круто конечно, но как эти функции найти? Они ведь тоже через элементарные не выражаются. Через ряды? Тогда уж лучше просто разложить в ряд и проинтегрировать, только потом его еще просуммировать надо.

-- 14.09.2018, 10:16 --

Проблема, из-за которой не подходит численное решение, заключается в том, что оценка количества вычислительных операций линейно зависит от $n$. А мне надо, чтобы количество операций для вычисления интеграла линейно зависило от количества цифр в $n$, или хотя бы полиномиально от $\log(n)$. Но точно не экспоненциально от $\log(n)$.

[wrest]

Евгений Машеров в сообщении #1338837 писал(а):

Ну, я предположу, что объясняется тем, что стандартные процедуры интегрирования используют равномерную сетку.

В документации на PAR/GP написано что используется "double-exponential method".
Так что вряд ли это означает обычные прямоугольники (или трапеции).

[worm2]

Написал сначала фигню, потом удалил.

[mihiv]

Student2018 в сообщении #1338849 писал(а):

Интересно, а как зависит количество слагаемых в сумме, то есть число $k$ от $n$, скажем для получения точности в $\log(n)$ разрядов?

Нужно внести исправление в формулу (1), должно быть ,если нигде не наврано:

$$\int \limits _0^b\sin x \sin \frac nxdx=\left (\sum \limits _{m=1}^k\frac {g_m(x)}{n^m}F_m(x)\right )\right |_0^b+\frac 1{n^k}R_k(x),\qquad (1)$$

В формуле (1) введено обозначение: $g_m(x)=\cos \frac nx\text {или}\sin \frac nx$ для, соответственно, нечетных или четных $m$. Число $k$ будет зависеть нетолько от $n$, но и от $b$. Для $b\sim 1$ достаточно взять $k=1$.
Найдем, например, $I=\int \limits _0^1\sin x\sin \frac nxdx, n=10^6$.(Берем $k=1$).По формуле (1):$I\approx 10^{-6}\sin 1\cos 10^6\approx 7.88250\cdot 10^{-7}$, погрешность при этом составляет несколько единиц последнего разряда.