Неприводимые многочлены.

[TR63]

Меня интересует вопрос, при каких положительных натуральных нечётных $(n>1)$ многочлен $x^5+x-n$ приводим (может раскладываться на произведение многочленов с целыми коэффициентами), если такие $(n)$ существуют.

Мои попытки решения этого вопроса.

При $n=1$ раскладываю на множители с помощью Вольфрама. При $n=3$ доказываю, что многочлен неприводим.
При нечётных $n$ последовательность многочленов имеет общее свойство (при чётных наличие общего свойства сомнительно). Шансы на экстраполяцию при нечётных $(n)$ с результата при $n=3$ выше, чем при чётных $(n)$. Это предположение проверяю с помощью Вольфрама. При чётных $(n)$ гипотеза подтверждается: экстраполяции нет. При нечётных $(n)$, если контрпример существует, то его можно найти с помощью Вольфрама. А, если не существует? Тогда хотелось бы знать как можно большее нечётное $(n)$, при котором многочлен всё ещё неприводим (а лучше доказательство не приводимости).

[Sender]

Если допустить наличие целого корня, то, очевидно, $n=m^5+m$, где $m \in \mathbb{N}$.
В остальных случаях, по-видимому, задача сводится к решению в целых числах уравнения $a^4-a^2b-b^2=1$.

[kotenok gav]

Sender в сообщении #1337020 писал(а):

Если допустить наличие целого корня, то, очевидно, $n=m^5+m$, где $m \in \mathbb{N}$.

Это четное число...

[TR63]

Sender в сообщении #1337020 писал(а):

$n=m^5+m$, где $m \in \mathbb{N}$

Sender, у Вас $(n)$ получается чётное. По поводу чётных $(n)$ у меня вопросов не было.

Sender в сообщении #1337020 писал(а):

В остальных случаях

Это для чётных и нечётных?

Sender в сообщении #1337020 писал(а):

задача сводится к решению в целых числах уравнения $a^4-a^2b-b^2=1$.

Это уравнение сложнее уравнения Пелля. Вряд ли я его решу. Но результат для нечётных $(n)$ мне будет интересен в любом виде (контрпример, т.е. приводимость или доказательство не приводимости).
Замечание.
На мои гипотетические рассуждения (типа наличия общего свойства, которое для нечётных очевидно, экстраполяции можно не обращать внимания; они больше для личного пользования).

[Sender]

TR63 в сообщении #1337034 писал(а):

Это для чётных и нечётных?

А вы запишите исходный многочлен как произведение квадратного и кубического с неопределёнными коэффициентами, и увидите.

-- Чт сен 06, 2018 19:13:33 --

TR63 в сообщении #1337034 писал(а):

Это уравнение сложнее уравнения Пелля. Вряд ли я его решу.

Ну, можно обозначить, скажем, $t=a^2$, тогда вольфрам это уравнение решает. Останется проверить, могут ли некие фибоначчевоподобные числа быть точными квадратами, задача не вполне тривиальная, на мой взгляд, впрочем, я в теории диофантовых уравнений ни в зуб ногой.
Если хотите, можете ознакомиться с работой, в которой доказывается, среди прочего, что единственные числа Фибоначчи, представляющие собой степени целых чисел, это $0$, $1$, $2$, $8$, $144$. Возможно, вы найдёте там какие-нибудь полезные идеи.

[TR63]

Это можно будет сделать. Но зачем спешить, если я не могу решить полученное уравнение и соответственно получить ответ на вопрос, который меня интересует. Меня интересует единственный вопрос: существует или нет приводимый многочлен при нечётном $(n)$. Щёлканием на Вольфраме пока ответ не находится.

-- 06.09.2018, 20:31 --

Sender, спасибо за информацию.

[RIP]

Stanley Rabinowitz, «The factorization of $x^5\pm x+n$».
Разложение в произведение неприводимых многочленов второй и третьей степеней есть только для $n=\pm1,\pm6$.

[grizzly]

Красиво и просто. Sender прошёл в своих подсказках большую часть этой статьи

[TR63]

RIP, спасибо за информацию. Посмотрела. Правда, по английски не понимаю. Тамошний результат мной гипотетически предполагался. Остаётся выяснить, можно ли разложить на первую и четвёртую степень. Но это очевидно.

[kotenok gav]

TR63 в сообщении #1337089 писал(а):

Остаётся выяснить, можно ли разложить на первую и четвёртую степень.

Там написано про это.

-- 07 сен 2018, 13:16 --

RIP в сообщении #1337069 писал(а):

Stanley Rabinowitz, «The factorization of $x^5\pm x+n$».

А как прочесть эту статью? В открытом доступе одна страница, sci-hub не находит...

[RIP]

kotenok gav
У меня тоже нет доступа. Результат (со ссылкой на статью) я взял из книги Прасолова «Многочлены».

[grizzly]

kotenok gav в сообщении #1337150 писал(а):

А как прочесть эту статью? В открытом доступе одна страница, sci-hub не находит...

Я расскажу, как я обычно делаю. Выделил мышкой в сообщении выше следующие слова (формулу не выделял, хотя и это часто помогает):
Stanley Rabinowitz, «The factorization of
затем клик правой кнопкой мышки и выбор из меню "Искать в Гугле". Первая ссылка ведёт на эту статью.

-- 07.09.2018, 10:03 --

Это один из методов, который иногда помогает, если другие не дают результата. Но поскольку он самый простой, я часто его пробую первым.

[TR63]

RIP, спасибо за ссылку на русском языке (это именно, то, что было нужно).
grizzly, спасибо за разъяснение. Воспользовалась Вашим советом. Всё открылось. Переводчик работает (при желании можно разобраться).
kotenok gav, спасибо за проницательность.

[kotenok gav]

В статье опечатка, вместо $d=a^2-b$ должно быть $d=-ac-b$.

-- 07 сен 2018, 17:59 --

И в следующих трех формулах опечатки.

[grizzly]

kotenok gav в сообщении #1337190 писал(а):

В статье опечатка, вместо $d=a^2-b$ должно быть $d=-ac-b$.

Вы начали проверять со второй формулы в этом блоке, а нужно было с первой. Или начали читать с конца (как я обычно), но не дочитали до начала