2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Целые точки на кривой второго порядка
Сообщение24.01.2006, 01:33 


24/01/06
5
Помогите пожалуйста!
Мне нужно решение уравнения $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$, где $x$ и $y$ неизвестные

Sank в сообщении #8077 писал(а):
Забыл сказать, что $x, y$ целые не отрицательные

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.01.2006, 01:38 
Основатель
Аватара пользователя


11/05/05
4312
Легко. Это кривая второго порядка :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.01.2006, 01:42 


24/01/06
5
А можно все решения найти если известны a, b, c, d, e, f и одно решение

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.01.2006, 01:45 
Основатель
Аватара пользователя


11/05/05
4312
можно.
читай лекции по аналитической геометрии.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.01.2006, 01:50 


24/01/06
5
Я нашел только решение уравнения X^2-AY^2=C а общего вида не могу найти

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.01.2006, 02:24 


24/01/06
5
Забыл сказать, что x, y целые не отрицательные

 Профиль  
                  
 
 Может, это все и знают, а, может, неверно?
Сообщение24.01.2006, 02:51 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Мне пришла в голову идея как-то.

Вот есть кривая второго порядка. Общее уравнение:
$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$
Это или гипербола, или парабола, или эллипс. Если гипербола или эллипс, у нее есть центр. Как получить уравнение центра? Можно, как это обычно делается, сделать сдвиг координат и пр... получить систему уравнений, но откуда она получается такая? Вот идея. Кривая разделяет две области, в одной из которых (если гипербола - она в двух кусках) $L(x,y)=a_{11}x^2+..... >0$, а в другой -- $L<0$. Тогда из соображений симметрии в центре у этой функции экстремум. Дифференцируем $L$ по $x$ и по $y$ -- получаем два уравнения для $x_0$ и $y_0$ -- координат центра. Это те уравнения, которые "некрасиво" получаются обычным способом. А у параболы эта система получается несовместна --> нет такой точки --> это парабола.

Sank, простите, толком ни слова по задаче. Посмотрите сначала учебник.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.01.2006, 18:49 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
У нас на лекциях уравнения центра именно так и давались (дифференцированием функционала). Правда, я что-то не помню, чтобы нам объясняли, откуда там дифференцирование. Может, я просто плохо слушал.

Кстати, если бы мы хотели честно доказать применимость этого метода, то с эллипсом, положим, действительно ясно, потому что функционал L внутри эллипса - непрерывная функция на компакте. А вот почему это для гиперболы проходит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение кривой второго порядка
Сообщение24.01.2006, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Sank писал(а):
Помогите пожалуйста!
Мне нужно решение уравнения ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0, где x и y неизвестные


Sank писал(а):
А можно все решения найти если известны a, b, c, d, e, f и одно решение


Sank писал(а):
Забыл сказать, что x, y целые не отрицательные


Насколько я понимаю, речь идёт о решении уравнения в целых числах. Я этим никогда не занимался, но, если известно одно рациональное решение $(x_0,y_0)$, то все рациональные решения можно найти, сделав подстановку $t=\frac{y-y_0}{x-x_0}$ (это, кстати, известно из теории кривых второго порядка). Тогда $x$ и $y$ рационально выражаются через $t$. И нужно не забыть про $t=\infty$, которое тоже даёт рациональное решение.

Может быть, кто-нибудь расскажет и про целые решения.

P.S. А задачу нужно формулировать сразу в точном виде. И тему указывать такую, чтобы сразу было понятно, о чём идёт речь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.01.2006, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Посмотрите обсуждение уравнения Пелла в Mathworld, может, поможет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group