Дискретизация параболического волнового уравнения

[fronnya]

В оптике есть так называемый beam propagation method (не знаю, если ли какой-то специальный перевод этого на русский) и рассматривается параболическое уравнение вида

$$ \frac{\partial\phi(x,z)}{\partial z}=A(x,z)\frac{\partial^2 \phi(x,z)}{\partial x^2} + B(x,z)\phi(x,z) $$

и производится замена непрерывных функций на сеточные, а производных - на конечные разности. Во всех книгах по соответствующей тематике это делают так:

$$\frac{\partial\phi}{\partial z}\to\frac{\phi_i^{m+1}-\phi_i^{m}}{\Delta z}, i,m=\overline{0,1,2,...}$$

$$A(x,z)\frac{\partial^2 \phi(x,z)}{\partial x^2} \to \frac{1}{2} A_i^{m+1/2} \left[\frac{\phi_{i-1}^m-2\phi_i^m+\phi_{i+1}^m}{(\Delta x)^2}+\frac{\phi_{i-1}^{m+1}-2\phi_i^{m+1}+\phi_{i+1}^{m+1}}{(\Delta x)^2}\right]$$

$$B(x,z)\phi\to\frac{1}{2}B_i^{m+1/2}(\phi_i^{m+1}+\phi_m^i)$$

где индекс $m$ отвечает направлению $z$, а $i$ -- направлению $x$. Единственное, что я смог понять, это то, что разностная производная по $z$ -- центральная, с шагом $\Delta z/2$ и центром $m/2$. Дискретизация всего остального, как я понял, производится с учетом этого же факта, но почему этот факт учитывается именно так - не сообразил. Ещё вижу, что выражение для второй производной по икс получилось из центральной второй разностной производной при подстановке $\frac{1}{2}(\phi_i^{m+1}+\phi_i^m)$. Но почему это третье выражение справедливо, я не понимаю. А ещё почему функции A и B вычисляются в центре интервала. Помогиите.

[thething]

fronnya в сообщении #1335600 писал(а):

разностная производная по $z$ -- центральная

Нет, она правая с шагом $\Delta z$

fronnya в сообщении #1335600 писал(а):

выражение для второй производной по икс получилось из центральной второй разностной производной при подстановке $\frac{1}{2}(\phi_i^{m+1}+\phi_i^m)$.

Выражение второй производной получилось так: взяли две аппроксимации на текущем слое и на будущем, сложили их и поделили на два, т.е., типа усреднили. Чтобы учитывать больше информации при вычислениях.

fronnya в сообщении #1335600 писал(а):

А ещё почему функции A и B вычисляются в центре интервала

Просто решили взять среднюю точку, потому что надо что-то взять. Можно еще брать полусумму двух крайних, например..

[fronnya]

thething в сообщении #1335601 писал(а):

т.е., типа усреднили. Чтобы учитывать больше информации при вычислениях.

thething в сообщении #1335601 писал(а):

потому что надо что-то взять

неужели все так... размыто формулируется в самом деле? Оно так на уровне интуиции понятно, но математика все же точная наука... Нельзя это как-то строже обосновать?

thething в сообщении #1335601 писал(а):

Нет, она правая с шагом $\Delta z$

а на это даже не знаю, что ответить. В голове слишком прочно засело, что это центральная разностная производная с половинным шагом.

[thething]

fronnya в сообщении #1335606 писал(а):

неужели все так... размыто формулируется в самом деле? Оно так на уровне интуиции понятно, но математика все же точная наука... Нельзя это как-то строже обосновать?

Тут даже больше можно сказать: Вы можете сотни таких схем придумать, крутя эти аппроксимации так и эдак, сочетая их по-разному между собой. Конечно, какие-то из них будут хуже в плане сходимости.. Но вот такие приёмы, как взятие производной два раза и усреднение, по моему опыту сходимость улучшают.

[fronnya]

thething в сообщении #1335607 писал(а):

Тут даже больше можно сказать: Вы можете сотни таких схем придумать, крутя эти аппроксимации так и эдак, сочетая их по-разному между собой. Конечно, какие-то из них будут хуже в плане сходимости.. Но вот такие приёмы, как взятие производной два раза и усреднение, по моему опыту сходимость улучшают.

Ясно, спасибо за помощь.

[thething]

fronnya в сообщении #1335606 писал(а):

а на это даже не знаю, что ответить. В голове слишком прочно засело, что это центральная разностная производная с половинным шагом.

Центральная бы выглядела так (лишние индексы опускаю): $\frac{\varphi^{m+1}-\varphi^{m-1}}{2\Delta z}$

[fronnya]

thething в сообщении #1335610 писал(а):

Центральная бы выглядела так

я имел в виду $\frac{\phi^{m+1}-\phi^{m}}{2\cdot(\Delta z/2)}$, а центр - это точка $m/2$.