2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Порядок роста функции Мертенса
Сообщение11.08.2018, 15:34 


23/02/12
3110
Эта тема является продолжением темы об асимптотической независимости слагаемых сумматорных арифметических функций Мертенса и Лиувилля. Но я бы просил модераторов не объединять темы, так как обычно более одной страницы не читают, а из старой темы мне потребуется только одна оценка, которую я здесь приведу.

Я уже писал об оценках функции Мертенса, но делал это с позиции вероятностных методов. В данной теме будут использоваться только точные методы: аналитические и элементарные.

Предметом обсуждения в данной теме является правильность доказательств указанных теорем. Буду благодарен за замечания и предложения.

В дальнейшем я буду говорить о минимальном порядке роста функции, поэтому поясню.

Напомню, что если $f(x),g(x)$ - две неограниченно возрастающие функции от вещественной переменной $x$ и $g(x)>0$ и существуют два положительных числа $C_1,C_2$, таких что $f(x)<C_1g(x)$ для всех $x>C_2$, то пишут $f(x)=O(g(x))$ и говорят, что порядок роста $f(x)$ равен $O(g(x))$.

Примеры: $\log(x) = O(x^{1/2}), \log(x)=O(x)$. Мы видим, что одна и та же функция может иметь различные порядки роста. Поэтому введем минимальный порядок роста, который станет ясен из примера.

Пусть имеется функция $f(x)$, которая имеет, например, порядок роста $f(x)=O(x^{1/3+\epsilon})$, что соответствует неравенству $|f(x)| < Cx^{1/3+\epsilon}$, где $C$ - постоянная. Естественно для $f(x)$ выполняется неравенство $|f(x)| < Cx^{2/3}$. Если для $f(x)$ не выполняется неравенство $|f(x)| < Cx^{1/3}$, то минимальный порядок роста $f(x)$ равен $O(x^{1/3+\epsilon})$.

В дальнейшем под порядком роста функции я буду понимать минимальный порядок роста. На это понятие меня навела многочисленная переписка с заслуженным участником форума ex-math, за что я ему благодарен.



Теорема 1
Порядки роста функции Мертенса $M(x)$ и ее среднего значения $M_0(x)$ совпадают.

Доказательство

Известна формула для функции Мертенса через теорему о вычетах:

$M(x)=-2+\sum_{k=1}^{\infty} {x^{p_k}/p_k\zeta'(p_k)}+\sum_n^{\infty} {\frac{(-1)^{n-1}(2\pi)^{2n}}{(2n)!n\zeta(2n+1)x^{2n)}}$,

где $p_k$ - $k$ -ый нетривиальный ноль дзета функции Римана.


Формула доказана при предположении справедливости гипотезы Римана и отсутствия кратности нетривиальных нулей дзета функции Римана.

В работе K.M. Bartz "On some complex explisit formulae connected with Mobius function." доказана аналогичная формула для $M(x)$ только без предположения о выполнении гипотезы Римана и отсутствия кратности нетривиальных нулей дзета функции Римана.

Рассмотрим эту формулу. Постоянная (-2) и второй знакочередующийся ряд по степеням $1/x^2$ c малыми коэффициентами, который стремится к нулю, не влияют на асимптотику функции Мертенса.

На асимптотику функции Мертенса влияет только первый ряд:
$M(x) \sim \sum_{k=1}^{\infty} {x^{p_k}/p_k\zeta'(p_k)}$, (1)

где $p_k$ - $k$ -ый нетривиальный ноль дзета функции Римана.


Среднее значение функции Мертенса получается интегрированием данной формулы для функции Мертенса и делением ее на $x$:

$M_0(x)=1/x(\int_1^x {M(y)dy)$.(2)

На основании (2) $M_0(x)$ включает в себя постоянную (-2), знакочередующийся ряд по степеням $1/x^2$ c малыми коэффициентами, стремяшейся к нулю, которые не влияют на асимптотику функции Мертенса, а также ряд по нетривиальным нулям дзета функции Римана, который влияет на асимптотику $M_0(x)$:

$M_0(x) \sim \sum_{k=1}^{\infty} {x^{p_k}/p_k(p_k+1)\zeta' (p_k)}$,

который отличается от (1) только коэффициентами при $x^{p_k}$.

Ряд $\sum_{k=1}^{\infty}{x^{p_k}/p_k \zeta'(p_k)}$ - расходится, поэтому интегрировать его почленно нельзя.

Поэтому используется метод математической индукции.

Для первого нетривиального нуля $p_1$ имеем:

$1/x\int_1^x {y^p_1dy/p_1 \zeta'(p_1)=x^{p_1}/(p_1(p_1+1)\zeta'(p_1)=O(x^{p_1}/p_1\zeta'(p_1))$.

Предположим, что соотношение выполняется для $n$ первых нетривиальных нулей: $p_1,p_2,...p_n$ т.е:

$1/x\int_1^x {\sum_{k=1}^n {y^{p_k}dy/p_k\zeta'(p_k)}}=\sum_{k=1}^n {x^{p_k}/p_k(1+p_k) \zeta'(p_k)}=O(\sum_{k=1}^n {x^{p_k}/p_k\zeta'(p_k))}$.

Тогда получим для первых $n+1$ нетривиальных нулей

$1/x\int_1^x {\sum_{k=1}^{n+1} {y^{p_k}dy/p_k\zeta'(p_k)}}=\sum_{k=1}^n {x^{p_k}/p_k(1+p_k)\zeta'(p_k)}+1/x\int_1^x {y^p_{n+1}dy/p_{n+1}\zeta'(p_{n+1})=$$\sum_{k=1}^{n+1} {x^{p_k}/p_k(1+p_k) \zeta'(p_k)}=O(\sum_{k=1}^{n+1} {x^{p_k}/p_k\zeta'(p_k))}$.

Это значит, что утверждение верно для всех нетривиальных нулей:

$M_0(x) \sim \sum_{k=1}^{\infty} {x^{p_k}/p_k(1+p_k) \zeta'(p_k)}=O(\sum_{k=1}^{\infty} {x^{p_k}/p_k\zeta'(p_k))}=O(M(x))$.

Следовательно, порядки роста $M(x)$ и $M_0(x)$ совпадают.


Теорема 2
Порядок роста функции Мертенса равен:
$M(x)=O(x^{1/2+\epsilon})$,(3)

где $\epsilon$- малое положительное число.

Доказательство

В работе Й.Кубилюс "Вероятностные методы в теории чисел" показано, что почти всюду для отклонения арифметической функции $S(x)$ от своего среднего значения $S_0(x)$ выполняется соотношение:

$|S(x)-S_0(x)| \leq h(x)\sigma(x)$, (4)

где $h(x)$ - любая медленно растущая функция, $\sigma(x)$ - стандартное отклонение.

Функция $h(x)$ обладает следующими свойствами:
1. $h(x)$ - является монотонной возрастающей функцией, начиная с некоторого $x_0$.
2. $\lim_{x \to \infty}{h(x)}=\infty$.
3. $|h(x)| < x^{\epsilon}$. (5)

Мы также рассмотрим случай:

$|S(x)-S_0(x)| > h(x)\sigma(x)$, (6)

чтобы исследовать все случаи.

В случае (4) для порядка $S(x)$ справедливо соотношение:

$S(x)=O(S_0(x))+O(h(x)\sigma(x))$. (7)

В теме topic128802.html было доказано, что порядок стандартного отклонения функции Мертенса равен:

$\sigma(x)=O(x^{1/2})$. (8)

Из (7) и (8) для функции Мертенса получаем:

$M(x)=O(M_0(x))+O(h(x)x^{1/2})$. (9)

На основании (9) порядок функции $M(x)$ определяется максимум из порядков $M_0(x)$ и функций вида $h(x)x^{1/2}$ для любых $h(x)$.

На основании Теоремы 1 порядок функции Мертенса равен $M(x)=O(M_0(x))$.

Таким образом, на основании (9) порядок $M_0(x)$ больше порядка всех функций вида $h(x)x^{1/2}$ для любой $h(x)$.

Учитывая свойство (5) порядок роста $M_0(x)$ равен:

$M_0(x)=O(x^{1/2+\epsilon})$. (10)

На основании Теоремы 1 порядок роста функции Мертенса равен порядку $M_0(x)$ поэтому на основании (10):

$M(x)=O(x^{1/2+\epsilon})$, (11)

что соответствует эквивалентной формулировке гипотезы Римана.

Для случая (6), когда порядки роста функций $M(x),M_0(x)$ равны, то порядок отклонения равен:

$|M(x)-M_0(x)|=O(M_0(x))$. (12)
Но для случая (6):

$|M(x)-M_0(x)|=O(M_0(x))>h(x)\sigma(x)$ для любой $h(x)$. (13)

Поэтому на основании (5) и (13) порядок роста $M_0(x)$ и $M(x)$ равен:

$M_0(x)=M(x)=O(x^{1/2+\epsilon})$, (14)

что также соответствует эквивалентной формулировке гипотезы Римана.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение11.08.2018, 16:36 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Объединять темы, возможно, и не нужно, но это все же форум, а не личный блог, а уже предыдущая Ваша тема на ту же тему не вызвала никакого интереса у окружающих (кстати, в последний раз, когда интерес был проявлен, соответствующая тема в итоге оказалась в Пургатории).

Поэтому, пожалуйста, сформулируйте внятно предмет обсуждения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение12.08.2018, 12:23 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 15:53 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ну давайте сначала. Как изменится доказательство и результат, если определение о большого везде написать и далее пользоваться им правильно? У Вас функции в т.ч. комплекснозначные, модуль опускать недопустимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 16:12 


23/02/12
3110
Otta в сообщении #1331952 писал(а):
Ну давайте сначала. Как изменится доказательство и результат, если определение о большого везде написать и далее пользоваться им правильно? У Вас функции в т.ч. комплекснозначные, модуль опускать недопустимо.

В традиционном определении O-большого и в моем модуль присутствует (посмотрите пример).
У меня обычное определение O-большого, только из всех вариантов O-большого для данной функции выбирается наименьший возможный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 16:20 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
vicvolf в сообщении #1331959 писал(а):
В традиционном определении O-большого и в моем модуль присутствует (посмотрите пример).

vicvolf в сообщении #1331779 писал(а):
Для первого нетривиального нуля $p_1$ имеем:

$1/x\int_1^x y^p_1dy/p_1 \zeta'(p_1)=x^{p_1}/p_1(p_1+1)\zeta'(p_1)=O(x^{p_1}/p_1\zeta'(p_1))$

А здесь и далее?

В Вашем "нетрадиционном" ничего нетрадиционного нет, можете не воспринимать это как нововведение, все такую запись $f(x)=O(x^{1+\varepsilon})\ \forall \varepsilon>0$ понимают, единственно, никто не называет такое употребление минимальным порядком - просто потому что это неправда. O большое в одну сторону несет информацию самое большее о неравенстве между порядками, но никак не о порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 16:40 


23/02/12
3110
Да в теореме 1 эти понятия совпадают. Вы согласны с доказательством теоремы 1?
А вот в тереме 2 используется нетрадиционный вариант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 16:44 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
vicvolf в сообщении #1331965 писал(а):
Да в теореме 1 эти понятия совпадают. Вы согласны с доказательством теоремы 1?

Это очень странно, поскольку в процитированной в предыдущем посте строке, чтобы убедиться в необходимом (для понятия О большого) неравенстве, придется сравнивать комплексные числа. Вы к этому готовы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 16:56 


23/02/12
3110
Давайте сначала покончим с теоремой 1. Вы согласны с доказательством теоремы 1 с традиционным понятием O -большого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 16:59 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
vicvolf
Для начала покончим с цитатой. Вы согласны что цитата отсюда post1331961.html#p1331961 действительно содержится в доказательстве теоремы 1?
Если да, ответьте на ранее заданный вопрос, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 17:13 


23/02/12
3110
Хорошо. Давайте будем понимать в обеих теоремах O-большое в традиционном смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 17:15 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Да это неважно. Важно модуль писать ) Он у Вас везде в традиционном смысле, нетрадиционный Вам видится.
А модуль в определении есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 17:19 


23/02/12
3110
Otta в сообщении #1331974 писал(а):
Да это неважно. Важно модуль писать ) Он у Вас везде в традиционном смысле, нетрадиционный Вам видится.
А модуль в определении есть.

Конечно модуль должен быть в любом определении. Так вы согласны с теоремой 1 (с модулем)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 17:21 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Нет. Вы его сперва напишите и посмотрите, что изменится. Если ничего не изменится (что вряд ли) - тогда соглашусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 18:15 


23/02/12
3110
$|x^{p_1}/p_1(p_1+1)\zeta'(p_1)|<C|x^{p_1}/p_1\zeta'(p_1)|$, где $C=|1/p_1|$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 47 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group