2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 18:30 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Хорошо, только ошибочка вышла. И потом, оно ведь упрощается. Сейчас не надо, и так хорошо.

Далее. Вы доказываете, что некоторые функции вида частичные суммы ряда $s_n(x)=O(S_n(x))$ для всех $n$.
Но отсюда не следует, что сами суммы ряда $s(x)=O(S(x))$. Или следует? а если следует, то почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 18:48 


23/02/12
3110
Это доказывается по индукции -
$M_0(x) \sim \sum_{k=1}^{\infty} {x^{p_k}/p_k(1+p_k)} \zeta'(p_k)}=$$\sum_{k=1}^{\infty}{O((x^{p_k}/p_k\zeta'(p_k)}=O(\sum_{k=1}^{\infty}{x^{p_k}/p_k\zeta'(p_k)}=O(M(x))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 18:51 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
По индукции доказываются утверждения только для конечного $n$. Произвольного, но конечного. Предельные переходы по индукции не делаются. Хотите доказывать - берите выражение, оценивайте сумму всего ряда по модулю, смотрите, выйдет ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 19:05 


23/02/12
3110
Otta в сообщении #1331998 писал(а):
По индукции доказываются утверждения только для конечного $n$. Произвольного, но конечного. Предельные переходы по индукции не делаются. Хотите доказывать - берите выражение, оценивайте сумму всего ряда по модулю, смотрите, выйдет ли.

По индукции доказывается для счетного множества. Все нетривиальные нули можно пронумеровать, т.е поставить в взаимное однозначное соответствие натуральному ряду чисел, т.е. бесконечному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 19:09 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Так Вы докажете утверждение вида
Otta в сообщении #1331990 писал(а):
$s_n(x)=O(S_n(x))$ для всех $n$.

Самое большее.
vicvolf в сообщении #1332003 писал(а):
По индукции доказывается для счетного множества.

Нет. По индукции, еще раз, доказываются утверждения вида $\forall n \ge n_0\ P(n)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 19:15 


23/02/12
3110
Otta в сообщении #1332005 писал(а):
Так Вы докажете утверждение вида
Otta в сообщении #1331990 писал(а):
$s_n(x)=O(S_n(x))$ для всех $n$.

Самое большее.
vicvolf в сообщении #1332003 писал(а):
По индукции доказывается для счетного множества.

Нет. По индукции, еще раз, доказываются утверждения вида $\forall n \ge n_0\ P(n)$

Стр. 17 Бухштаб Теорема 3 - утверждение верно для всех натуральных чисел.

-- 12.08.2018, 19:24 --

Otta в сообщении #1331979 писал(а):
Нет. Вы его сперва напишите и посмотрите, что изменится. Если ничего не изменится (что вряд ли) - тогда соглашусь.

Ну что с теоремой 1 соглашаетесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 19:25 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Да как же я с ней буду соглашаться, когда Вы метод математической индукции не понимаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 19:38 


23/02/12
3110
Вы прочитали Бухштаба стр 17 Теорему 3?
Если нет, тогда цитирую.

Теорема 3
Если известно, что некоторое утверждение 1) верно для 1 (для первого нетривиального нуля); 2) из предположения, что утверждения верно для некоторого $n$ (для $n$ - нетривиальных нулей), вытекает, что оно верно для $n+1$ (для $n+1$ нетривиальных нулей), то это утверждение верно для всех натуральных чисел (для всех нетривиальных нулей).

Согласны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 19:44 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Какое конкретно утверждение будет верным для каждого $n$ в Вашем случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 19:55 


23/02/12
3110
Otta в сообщении #1332017 писал(а):
Какое конкретно утверждение будет верным для каждого $n$ в Вашем случае?

$n$ - это количество нетривиальных нулей. Я написал все утверждения в скобках в предыдущей теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 19:58 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Если написали, тем проще. Процитируйте, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 20:42 


23/02/12
3110
Для первого нетривиального нуля $p_1$ имеем:

$1/x\int_1^x {y^p_1dy/p_1 \zeta'(p_1)=x^{p_1}/(p_1(p_1+1)\zeta'(p_1)=O(x^{p_1}/p_1\zeta'(p_1))$.

Предположим, что соотношение выполняется для $n$ первых нетривиальных нулей: $p_1,p_2,...p_n$ т.е:

$1/x\int_1^x {\sum_{k=1}^n {y^{p_k}dy/p_k\zeta'(p_k)}}=\sum_{k=1}^n {x^{p_k}/p_k(1+p_k) \zeta'(p_k)}=O(\sum_{k=1}^n {x^{p_k}/p_k\zeta'(p_k))}$.

Тогда получим для первых $n+1$ нетривиальных нулей

$1/x\int_1^x {\sum_{k=1}^{n+1} {y^{p_k}dy/p_k\zeta'(p_k)}}=O(\sum_{k=1}^n {x^{p_k}/p_k\zeta'(p_k))}+$$O(x^{p_{n+1}}/p_{n+1}\zeta'(p_{n+1}))=O(\sum_{k=1}^{n+1} {x^{p_k}/p_k\zeta'(p_k))}$.

Это значит, что утверждение верно для всех нетривиальных нулей:

$M_0(x) \sim \sum_{k=1}^{\infty} {x^{p_k}/p_k(1+p_k)} \zeta'(p_k)}=O(\sum_{k=1}^{\infty}{x^{p_k}/p_k\zeta'(p_k)}=O(M(x))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 21:01 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
vicvolf
Вы цитируете полное доказательство (на Ваш взгляд) утверждения методом мат. индукции.
Процитируйте только то утверждение, которое, как в Бухштабе или где там, верно для каждого $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
vicvolf в сообщении #1332031 писал(а):
Это значит, что утверждение верно для всех нетривиальных нулей:
Разумеется, не значит. На таком уровне уже надо рассмтривать зависимость константы внутри $O$ от параметра $n$.

Пример:
Для любого $n$ верно $\sum_{k = 1}^n \frac{(2x)^k}{k!} = O(\sum_{k = 1}^n \frac{x^k}{k!})$, однако неверно, что $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(2x)^k}{k!} = e^{2x} = O(\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}) = O(e^x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порядок роста функции Мертенса
Сообщение12.08.2018, 21:12 


23/02/12
3110
Otta в сообщении #1332034 писал(а):
vicvolf

Процитируйте только то утверждение, которое, как в Бухштабе или где там, верно для каждого $n$.


Для $n$ первых нетривиальных нулей: $p_1,p_2,...p_n$ выполняется:

$1/x\int_1^x {\sum_{k=1}^n {y^{p_k}dy/p_k\zeta'(p_k)}}=\sum_{k=1}^n {x^{p_k}/p_k(1+p_k) \zeta'(p_k)}=O(\sum_{k=1}^n {x^{p_k}/p_k\zeta'(p_k))}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 47 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group