2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство от треугольного числа переменных
Сообщение20.07.2018, 08:19 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Пусть $n\geq3$, $a_{ij}\geq0$ по всем $i$ и $j$ таких, что $1\leq i<j\leq n$. Докажите, что:
$$\sqrt[3]{\frac{\sum\limits_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}a_{ij}a_{ik}a_{jk}}{\binom{n}{3}}}\leqslant \sqrt{\frac{\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}a_{ij}^{2}}{\binom{n}{2}}}$$

(PS)

Для $n=3$ оно очевидно. Для $n=4$ имеется красивое доказательство. Для $n\geq5$ пока не вижу, что делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от треугольнго числа переменных
Сообщение20.07.2018, 10:15 
Заблокирован


16/04/18

1129
Это какая-то форма неравенства Мюрхеда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от треугольнго числа переменных
Сообщение20.07.2018, 10:58 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
novichok2018 в сообщении #1327798 писал(а):
Это какая-то форма неравенства Мюрхеда?

Оно несимметрическое при $n>3$. Поэтому про Мюрхеда можно забыть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от треугольнго числа переменных
Сообщение31.07.2018, 09:04 
Заслуженный участник


12/08/10
1606
Хм, у меня получилось что если $\sum\limits_1^n x_i =0$, то $$\sqrt[3]{\frac{\sum\limits_1^n x_i^3}{n(n-1)(n-2)}}\leqslant \sqrt[2]{\frac{\sum\limits_1^n x_i^2}{n(n-1)}}$$
Это правда?
$x_i$ - собственные значения симметричной матрицы $(a_{ij})$ с 0 на диагонали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от треугольного числа переменных
Сообщение31.07.2018, 20:18 


30/03/08
196
St.Peterburg
arqady в сообщении #1327782 писал(а):
Пусть $n\geq3$, $a_{ij}\geq0$ по всем $i$ и $j$ таких, что $1\leq i<j\leq n$. Докажите, что:
$$\sqrt[3]{\frac{\sum\limits_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}a_{ij}a_{ik}a_{jk}}{\binom{n}{3}}}\leqslant \sqrt{\frac{\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}a_{ij}^{2}}{\binom{n}{2}}}$$
Для $n=3$ оно очевидно. Для $n=4$ имеется красивое доказательство. Для $n\geq5$ пока не вижу, что делать.

для $n=4:\ a_{12} =a, \ a_{13}=b, \ a_{14}=d,\ a_{23}=c,\  a_{24}=e,\ a_{34}=f$
$$\left(abc+ade+fec+fdb\right)^2 \le (a^2+a^2+f^2+f^2)(b^2c^2+d^2e^2+e^2c^2+d^2b^2)= $$
$$=2(a^2+f^2)(b^2+e^2)(c^2+d^2)\le2\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2}{3}\right)^3$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от треугольного числа переменных
Сообщение03.08.2018, 13:04 
Заслуженный участник


12/08/10
1606
Запишу свое решение:
Пусть $A$ - матрица $n\times n$ с элементами $a_{ji}=a_{ij}$ при $1\leq i<j\leq n$ и $a_{ii}=0$.
Тогда наше неравенство принимает вид: $$\sqrt[3]{\frac{\operatorname{tr} A^3}{n(n-1)(n-2)}}\le \sqrt[2]{\frac{\operatorname{tr} A^2}{n(n-1)}}$$
Но $\operatorname{tr}A^k=\sum\limits_{i=1}^n x_i^k$, где $\operatorname{diag}(x_i)$ - жорданова форма матрицы $A$(диагональная с действительными элементами у симметрической матрицы)
$\operatorname{tr} A =0$, значит $\sum\limits_{i=1}^n x_i=0$
Рассмотрим многочлен $P(x)=\prod\limits_{i=1}^n(x-x_i)=x^n-P_1x^{n-1}+P_2x^{n-2}-P_3x^{n-3}+\dots$ - у него $n$ корней, значит у его $n-3$ производной $$n(n-1)(n-2)\dots 4 x^3-(n-1)(n-2)\dots3\cdot P_1 x^2+(n-2)(n-3)\dots 2\cdot P_2 x-(n-3)\dots 1\cdot P_3 $$ $3$ действительных корня.
Значит дискриминант(использовали $P_1=0$)
$$x^3+\frac{6P_2}{n(n-1)}  x-\frac{6P_3}{n(n-1)(n-2)} $$
Больше 0
$$-27\left(\frac{6P_3}{n(n-1)(n-2)}\right)^2 -4\left(\frac{6P_2}{n(n-1)}\right)^3\ge0$$
При условии $\sum\limits_{i=1}^n x_i=0$
$P_2=-\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}{2}$
$P_3=\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i^3}{3}$
Значит
$$-27\left(\frac{2\operatorname{tr}A^3}{n(n-1)(n-2)}\right)^2 +4\left(\frac{3\operatorname{tr}A^2}{n(n-1)}\right)^3\ge0$$
Равносильно(на самом деле сильнее) тому что требуется доказать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: worm2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group