2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство от треугольного числа переменных
Сообщение20.07.2018, 08:19 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Пусть $n\geq3$, $a_{ij}\geq0$ по всем $i$ и $j$ таких, что $1\leq i<j\leq n$. Докажите, что:
$$\sqrt[3]{\frac{\sum\limits_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}a_{ij}a_{ik}a_{jk}}{\binom{n}{3}}}\leqslant \sqrt{\frac{\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}a_{ij}^{2}}{\binom{n}{2}}}$$

(PS)

Для $n=3$ оно очевидно. Для $n=4$ имеется красивое доказательство. Для $n\geq5$ пока не вижу, что делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от треугольнго числа переменных
Сообщение20.07.2018, 10:15 
Заблокирован


16/04/18

1129
Это какая-то форма неравенства Мюрхеда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от треугольнго числа переменных
Сообщение20.07.2018, 10:58 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
novichok2018 в сообщении #1327798 писал(а):
Это какая-то форма неравенства Мюрхеда?

Оно несимметрическое при $n>3$. Поэтому про Мюрхеда можно забыть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от треугольнго числа переменных
Сообщение31.07.2018, 09:04 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Хм, у меня получилось что если $\sum\limits_1^n x_i =0$, то $$\sqrt[3]{\frac{\sum\limits_1^n x_i^3}{n(n-1)(n-2)}}\leqslant \sqrt[2]{\frac{\sum\limits_1^n x_i^2}{n(n-1)}}$$
Это правда?
$x_i$ - собственные значения симметричной матрицы $(a_{ij})$ с 0 на диагонали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от треугольного числа переменных
Сообщение31.07.2018, 20:18 


30/03/08
196
St.Peterburg
arqady в сообщении #1327782 писал(а):
Пусть $n\geq3$, $a_{ij}\geq0$ по всем $i$ и $j$ таких, что $1\leq i<j\leq n$. Докажите, что:
$$\sqrt[3]{\frac{\sum\limits_{1\leqslant i<j<k\leqslant n}a_{ij}a_{ik}a_{jk}}{\binom{n}{3}}}\leqslant \sqrt{\frac{\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}a_{ij}^{2}}{\binom{n}{2}}}$$
Для $n=3$ оно очевидно. Для $n=4$ имеется красивое доказательство. Для $n\geq5$ пока не вижу, что делать.

для $n=4:\ a_{12} =a, \ a_{13}=b, \ a_{14}=d,\ a_{23}=c,\  a_{24}=e,\ a_{34}=f$
$$\left(abc+ade+fec+fdb\right)^2 \le (a^2+a^2+f^2+f^2)(b^2c^2+d^2e^2+e^2c^2+d^2b^2)= $$
$$=2(a^2+f^2)(b^2+e^2)(c^2+d^2)\le2\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2}{3}\right)^3$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от треугольного числа переменных
Сообщение03.08.2018, 13:04 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Запишу свое решение:
Пусть $A$ - матрица $n\times n$ с элементами $a_{ji}=a_{ij}$ при $1\leq i<j\leq n$ и $a_{ii}=0$.
Тогда наше неравенство принимает вид: $$\sqrt[3]{\frac{\operatorname{tr} A^3}{n(n-1)(n-2)}}\le \sqrt[2]{\frac{\operatorname{tr} A^2}{n(n-1)}}$$
Но $\operatorname{tr}A^k=\sum\limits_{i=1}^n x_i^k$, где $\operatorname{diag}(x_i)$ - жорданова форма матрицы $A$(диагональная с действительными элементами у симметрической матрицы)
$\operatorname{tr} A =0$, значит $\sum\limits_{i=1}^n x_i=0$
Рассмотрим многочлен $P(x)=\prod\limits_{i=1}^n(x-x_i)=x^n-P_1x^{n-1}+P_2x^{n-2}-P_3x^{n-3}+\dots$ - у него $n$ корней, значит у его $n-3$ производной $$n(n-1)(n-2)\dots 4 x^3-(n-1)(n-2)\dots3\cdot P_1 x^2+(n-2)(n-3)\dots 2\cdot P_2 x-(n-3)\dots 1\cdot P_3 $$ $3$ действительных корня.
Значит дискриминант(использовали $P_1=0$)
$$x^3+\frac{6P_2}{n(n-1)}  x-\frac{6P_3}{n(n-1)(n-2)} $$
Больше 0
$$-27\left(\frac{6P_3}{n(n-1)(n-2)}\right)^2 -4\left(\frac{6P_2}{n(n-1)}\right)^3\ge0$$
При условии $\sum\limits_{i=1}^n x_i=0$
$P_2=-\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}{2}$
$P_3=\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i^3}{3}$
Значит
$$-27\left(\frac{2\operatorname{tr}A^3}{n(n-1)(n-2)}\right)^2 +4\left(\frac{3\operatorname{tr}A^2}{n(n-1)}\right)^3\ge0$$
Равносильно(на самом деле сильнее) тому что требуется доказать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group