2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Выложить плоскость правильными многоугольниками
Сообщение30.07.2018, 14:59 


29/07/08
536
Хочу предложить на ваш суд поверхность, образованную правильными пятиугольниками, которая покрывает собой плоскость.

Для построения такой поверхности необходимо создать из правильных пятиугольников две фигуры.
1. Первая фигура представляет из себя половинку додекаэдра. Если додекаэдр положить на стол одной из граней и разрезать его по ребрам экватора, то это и будет та фигура, которую мы будем использовать. Она состоит из шести пятиугольников и имеет форму блюдечка.
2. Вторая фигура образована из трех правильных пятиугольников, имеющих одну общую вершину. Другими словами, это телесный угол из трех пятиугольников.

Чтобы построить саму поверхность, надо на плоскости расположить "блюдца", так чтобы "дно" лежало на плоскости, а между ними расположить вторую фигуру из трех пятиугольников. "Блюдца" между собой не соприкасаются, их разделяют фигурки из трех пятиугольников.

Делал картонные модельки и все получается, вроде.
С удовольствием выслушаю замечания или указания на ошибки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выложить плоскость правильными многоугольниками
Сообщение30.07.2018, 19:40 
Заслуженный участник


20/08/14
11065
Россия, Москва
Побережный Александр в сообщении #1329551 писал(а):
Чтобы построить саму поверхность, надо на плоскости расположить "блюдца", так чтобы "дно" лежало на плоскости, а между ними расположить вторую фигуру из трех пятиугольников. "Блюдца" между собой не соприкасаются, их разделяют фигурки из трех пятиугольников.
А нарисовать что и как расположено?
Побережный Александр в сообщении #1329551 писал(а):
Делал картонные модельки и все получается, вроде.
А посчитать углы, плотно ли прилегают все грани? С картоном небольшие погрешности легко не заметить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выложить плоскость правильными многоугольниками
Сообщение31.07.2018, 14:56 


29/07/08
536
Dmitriy40 в сообщении #1329598 писал(а):
А посчитать углы, плотно ли прилегают все грани?

Dmitriy40, конкретно углы я не считал, но рассуждал следующим способом.

Если три правильных пятиугольника соединить так, чтобы у них была общая вершина, то получится жесткая структура, где плоский угол между двумя гранями будет строго определенный. У додекаэдра этот же угол между любыми двумя соседними гранями. Следовательно, к такой тройке всегда можно присоединить еще один пятиугольник и он точно впишется в свое место, рядом с двумя соседними.
Если продолжать этот процесс, то присоединяя каждый раз по пятиугольнику мы в конце концов получим додекаэдр. В этом случае каждая вершина будет общей ровно для трех пятиугольников.

Но можно так расположить правильные пятиугольники, что общая вершина будет общей для четырех пятиугольников. Попробуйте присоединить к жесткой фигуре из трех пятиугольников еще два, которые уже соединены между собой под тем же самым плоским углом, так, чтобы вершина стала общей для четырех пятиугольников. Это можно сделать единственным способом.

Этот процесс можно продолжать до бесконечности, причем всегда можно присоединить либо один правильный пятиугольник либо пару, соединенных под этим же плоским углом, пятиугольников. Таким образом можно конструировать различные поверхности, как ограниченные, так неограниченные.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group