2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство от 2n переменных.
Сообщение30.06.2018, 00:48 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Пусть $a_i>0$ и $x_i>0$ так что $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}=1$, где $n\geq2$. Докажите, что:
$$a_1^{x_1}+a_2^{x_2}+...+a_n^{x_n}\geq\frac{(n-1)^{n-1}a_1a_2...a_nx_1x_2...x_n}{(x_1+x_2+...+x_n-n)^{n-1}}.$$

(PS)

Существует доказательство в одну строчку :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от 2n переменных.
Сообщение30.06.2018, 12:23 
Заблокирован


16/04/18

1129
Хоть бы для двух решить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от 2n переменных.
Сообщение04.07.2018, 09:18 


30/03/08
196
St.Peterburg
arqady в сообщении #1323489 писал(а):
Пусть $a_i>0$ и $x_i>0$ так что $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}=1$, где $n\geq2$. Докажите, что:
$$a_1^{x_1}+a_2^{x_2}+...+a_n^{x_n}\geq\frac{(n-1)^{n-1}a_1a_2...a_nx_1x_2...x_n}{(x_1+x_2+...+x_n-n)^{n-1}}.$$

(PS)

Существует доказательство в одну строчку :-)


$$(n-1)\sqrt [n-1]{x_1x_2...x_n}\left (\dfrac {1}{x_1^{n/(n-1)}} +...+\dfrac {1}{z_n^{n/(n-1)}}\right ) \le \dfrac {x_2+...+x_n}{x_1}+ ...+\dfrac {x_1+...+x_n}{x_n} =(x_1+ ...+x_n)-n$$

$$\left (a_1^{x_1}+...+a_n^{x_n} \right) \left ( \dfrac {1}{x_1^{n/(n-1)}}+...+\dfrac {1}{x_n^{n/(n-1)}}} \right ) ^{n-1}\ge \left ( a_1^{\dfrac {x_1}{n} } \dfrac {1}{x_1}+\ ...\ +a_n^{\dfrac {x_n}{n}} \dfrac {1}{x_n}\right )^n \ge {a_1\ ...\ a _n}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство от 2n переменных.
Сообщение04.07.2018, 19:24 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Замечательно! Это можно записать в одну строчку, конечно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group