2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эллипс
Сообщение25.06.2018, 23:28 


18/05/15
679
Доброго времени суток! Столкнулся с такой проблемой. Кривая задана параметрически уравнениями
$$ x(\alpha) = \frac{a_1\cos\alpha + a_2\sin\alpha + a_3}{c_1\cos\alpha + c_2\sin\alpha + 1},$$ $$y(\alpha) = \frac{b_1\cos\alpha + b_2\sin\alpha + b_3}{c_1\cos\alpha + c_2\sin\alpha + 1}.$$ Знаменатель в правых частях положительный для всех значений $\alpha \in [0,\pi]$. Надо представить кривую в виде $P(x,y)=0$, $P(x,y)$ - многочлен степени 2 с постоянными коэффициентами. Пробовал, не получается. Можно ли вообще сделать это в общем виде, или нужны какие-то дополнительные условия для коэффициентов $a_i, b_i$? Пока известно только, что они не равны нулю, и что кривая точно эллипс. Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс
Сообщение25.06.2018, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4265
Попробуйте рассмотреть эти два уравнения как систему уравнений относительно косинуса и синуса. То есть, выразите косинус и синус из этой системы уравнений. А затем воспользуйтесь основным тригонометрическим тождеством. Вероятно, после упрощения получится то, что нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс
Сообщение25.06.2018, 23:53 


18/05/15
679
Гениально.. действительно, так должно получиться. Заклинило не на шутку:)) Пробую... Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс
Сообщение26.06.2018, 00:00 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Это линейная система уравнений относительно $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$, причем ее решение должно быть двумя отношениями многочленов первого порядка относительно $x$ и $y$ с одинаковым знаменателем). Тогда сумма квадратов синуса и косинуса как раз и должна дать искомое выражение.

Кстати, вот это:
ihq.pl в сообщении #1322575 писал(а):
что кривая точно эллипс
само по себе условие на коэффициенты. По идее, в общем случае получится общая же кривая второго порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс
Сообщение26.06.2018, 01:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я по-другому подумал (не довёл до конца).

Знаменатель в обеих дробях одинаковый. Представим его как функцию угла $D=D(\alpha),$ и найдём обратную функцию $\alpha=D^{-1}(D).$ Это будет функция с единственным арккосинусом или арксинусом снаружи.

Потом её подставляем в числители, и вся тригонометрия уходит, остаётся только алгебраический параметрический вид.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс
Сообщение26.06.2018, 08:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Pphantom в сообщении #1322587 писал(а):
По идее, в общем случае получится общая же кривая второго порядка.

ihq.pl в сообщении #1322575 писал(а):
Знаменатель в правых частях положительный для всех значений $\alpha \in [0,\pi]$.

Т.е. кривая ограничена (т.к. наверняка имелось в виду $2\pi$ -- при чём тут $\pi$-то?).

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс
Сообщение26.06.2018, 09:31 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
ewert в сообщении #1322616 писал(а):
Т.е. кривая ограничена (т.к. наверняка имелось в виду $2\pi$ -- при чём тут $\pi$-то?).
Да, логично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллипс
Сообщение26.06.2018, 11:14 


18/05/15
679
конечно, имелось в виду $2\pi$. Сорри.
Всё замечательно получилось. Еще раз большое спасибо:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group