2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрическая вероятность.
Сообщение28.05.2018, 23:25 


22/05/16
171
Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние 2a. Квадрат со стороной 2m бросают на плоскость.Какова вероятность того, что квадрат пересечет одну из прямых? Вот нарисовал картинку
Изображение.
Я вот как рассуждал если $\sqrt{2}m\sin(\varphi)> x $ где $\frac{\pi}{4}< \varphi < \frac{\pi}{2}$, если $ 0 < \varphi < \frac{\pi}{4} $ то $m>x$ тогда существует пересечение. Получим вероятность $P(A)=\frac{m\frac{\pi}{4}+\sqrt{2}m\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)dx}{a\frac{\pi}{2}}=\frac{m\pi+4m}{2\pi a}$. Меня смущает то, что если $a=m P(A)>1$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность.
Сообщение29.05.2018, 05:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
dima_1985 в сообщении #1315722 писал(а):
если $ 0 < \varphi < \frac{\pi}{4} $ то $m>x$ тогда существует пересечение.

Во-первых, это не так - скорее всего, $m\sqrt{2}\cos\varphi > x$. Во-вторых, при $m\sqrt{2}>a$ область интегрирования иная. Нарисуйте прямоугольник $[0,\pi/2]\times [0,a]$, в нём $m\sqrt{2}\cos\varphi$ или $m\sqrt{2}\sin\varphi$ пересекают верхнюю границу при $m\sqrt{2}>a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность.
Сообщение29.05.2018, 11:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
--mS-- в сообщении #1315778 писал(а):
Нарисуйте прямоугольник $[0,\pi/2]\times [0,a]$, в нём $m\sqrt{2}\cos\varphi$ или $m\sqrt{2}\sin\varphi$ пересекают верхнюю границу

Это перебор -- в силу симметрии достаточно рассматривать $[0;\frac{\pi}4]$. И да, тогда нужен именно косинус, и будет ровно три разных случая пересечения: косинусоида целиком внутри прямоугольника, целиком снаружи и (промежуточно) пересекает верхнюю границу. Соответственно, и

dima_1985 в сообщении #1315722 писал(а):
если $a=m P(A)>1$ ?

-- при игнорировании этих вариантов переполнение вероятности наступит ещё раньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность.
Сообщение29.05.2018, 12:39 


22/05/16
171
--mS-- в сообщении #1315778 писал(а):
Во-первых, это не так - скорее всего, $m\sqrt{2}\cos\varphi > x$

Я вот не совсем понял почему $\sin(x)$ не подходит. 1) Решим неравенство $\sqrt{2}m\sin(x)>m$ находим что на интервале $[0;\frac{\pi}{4}]$ у нас прямоугольник $S=\frac{\pi}{4}m$.2) Тут я понял
--mS-- в сообщении #1315778 писал(а):
Во-вторых, при $m\sqrt{2}>a$ область интегрирования иная
то, что нужно ограничить область интегрирования с верху решив неравенство $\sqrt{2}m\sin(x)<a$. Тогда получим след. $\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\arcsin{\frac{a}{\sqrt{2}m}}}\sin(x)dx$. 3) Это прямоугольник $(\frac{\pi}{2}-\arcsin{\frac{a}{\sqrt{2}m}})a$.Собираем все вместе и получим $P(A)=\frac{\frac{\pi}{4}m+\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\arcsin{\frac{a}{\sqrt{2}m}}}\sin(x)dx+(\frac{\pi}{2}-\arcsin{\frac{a}{\sqrt{2}m}})a}{a\frac{\pi}{2}}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность.
Сообщение29.05.2018, 13:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
dima_1985 в сообщении #1315834 писал(а):
Я вот не совсем понял почему $\sin(x)$ не подходит.

Потому что не соответствует Вашей картинке: синус -- это не тот катет, который задаёт расстояние от вершины до линии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность.
Сообщение29.05.2018, 13:31 


22/05/16
171
ewert в сообщении #1315840 писал(а):
Потому что не соответствует Вашей картинке: синус -- это не тот катет, который задаёт расстояние от вершины до линии.

Да проглядел там $\cos(x)$. Получиться $P(A)=\frac{\frac{\pi}{4}m+\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\arccos{\frac{a}{\sqrt{2}m}}}\cos(x)dx+(\frac{\pi}{2}-\arccos{\frac{a}{\sqrt{2}m}})a}{a\frac{\pi}{2}}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность.
Сообщение29.05.2018, 13:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Вряд ли это верно буквально (и уж всяко оставлять постоянное слагаемое за интегралом не вполне прилично), но главное в другом: ответ должен состоять из трёх пунктов, а не из одного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность.
Сообщение29.05.2018, 17:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
dima_1985 в сообщении #1315849 писал(а):
Да проглядел там $\cos(x)$. Получиться $P(A)=\frac{\frac{\pi}{4}m+\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\arccos{\frac{a}{\sqrt{2}m}}}\cos(x)dx+(\frac{\pi}{2}-\arccos{\frac{a}{\sqrt{2}m}})a}{a\frac{\pi}{2}}$ ?

Откуда у Вас в числителе $\frac{\pi}{4}m$? Я только что про него говорила. Прочтите "во-первых".

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность.
Сообщение29.05.2018, 18:26 


05/08/17
43
dima_1985 в сообщении #1315722 писал(а):
Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние 2a. Квадрат со стороной 2m бросают на плоскость.Какова вероятность того, что квадрат пересечет одну из прямых?
надо бы подходящее вероятностное пространство определить для начала
т.е. множество исходов и меру, такую, что мера всего множества = 1.
ну, как полагается

зы. радует, что плоскость бесконечная

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность.
Сообщение29.05.2018, 20:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Papazol в сообщении #1315989 писал(а):
надо бы подходящее вероятностное пространство определить для начала

Оно уже всеми (включая ТС) давно определено. Другое дело, что у почти всех избыточно, что и вызывает ненужные ветки анализа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность.
Сообщение30.05.2018, 15:25 


22/05/16
171
Рисунок нарисовал думаю так проще обсуждать
Изображение.
Теперь слева на право. 1) Первая область это прямоугольник $S=a\arccos(\frac{a}{\sqrt{2}m})$. 2) Это график под косинусоидой $S = \int\limits_{\arccos(\frac{a}{\sqrt{2}m})}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{2}m\cos(x)dx$.3)
--mS-- в сообщении #1315956 писал(а):
Откуда у Вас в числителе $\frac{\pi}{4}m$?
мы должны интегрировать $S=\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}mdx=\frac{\pi}{4}m$? Если $a-x<m$ пересечение будет всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность.
Сообщение30.05.2018, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Рисунок правильный. А вот этого снова не поняла:
dima_1985 в сообщении #1316248 писал(а):
Если $a-x<m$ пересечение будет всегда.

Да отчего оно будет-то?

При $0\leq \varphi\leq \pi/4$ область $(x,\varphi)$, удовлетворяющих условию пересечения $x<\sqrt{2}m\cos \varphi$ Вы изобразили. Если $\pi/4<\varphi\leq \pi/2$, это точно такая же область под синусоидой. Вы её выписывали в первом сообщении. Никаких других областей тут нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность.
Сообщение05.06.2018, 16:29 


22/05/16
171
--mS-- в сообщении #1316277 писал(а):
Да отчего оно будет-то?

Я не прав. Удобней брать угол $0<\varphi<\frac{\pi}{4}$, как писал ewert если брать больше всё повторяется. Тогда получим $P(A)=\frac{a\arccos{\frac{a}{\sqrt{2}m}}+\sqrt{2}m \int\limits_{\arccos{\frac{a}{\sqrt{2}m}}}^{\frac{\pi}{4}}\cos(x)dx}{a\frac{\pi}{4}}$.
ewert в сообщении #1315820 писал(а):
и будет ровно три разных случая пересечения: косинусоида целиком внутри прямоугольника, целиком снаружи и (промежуточно) пересекает верхнюю границу


Вот я не могу понять про три разных случая ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность.
Сообщение05.06.2018, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Трёхэтажные формулы можно набирать в выключном режиме:
$$P(A)=\frac{a\arccos{\frac{a}{\sqrt{2}m}}+\sqrt{2}m \int\limits_{\arccos{\frac{a}{\sqrt{2}m}}}^{\frac{\pi}{4}}\cos(x)dx}{a\frac{\pi}{4}}.$$ А можно немного потрудиться, приведя их к менее многоэтажному виду: $P(A)=\dfrac{1}{a\frac{\pi}{4}}\Bigl(a\arccos{\frac{a}{\sqrt{2}m}}+\sqrt{2}m \int_{\arccos{\frac{a}{\sqrt{2}m}}}^{\frac{\pi}{4}}\cos(x)dx\Bigr).$ Лучше всего сделать и то и другое:
$$P(A)=\dfrac{1}{a\,\pi/4}\Bigl(ax_1+m\sqrt{2}\int\limits_{x_1}^{\pi/4}\cos x\,dx\Bigr),\qquad x_1=\arccos\tfrac{a}{m\sqrt{2}}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность.
Сообщение06.06.2018, 05:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5419
Нов-ск
dima_1985 в сообщении #1317421 писал(а):
Вот я не могу понять про три разных случая ?

$\frac{a}{\sqrt{2}m}>1$, $\arccos{  \frac{a}{\sqrt{2}m}  }>\frac{\pi}{4}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Ludi, mihaild, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group