Сходимость интеграла.

[dima_1985]

Спрошу в своей теме. Исследовать интеграл на сходимость $\int\limits_{0}^{1}\frac{\cos^2(ax)}{x^2}dx$. Хотел попробовать разложить функцию $\cos^2(ax)=(1-\frac{a^2x^2}{2})^2$ в ряд Тейлора в $0$. Потом исследовать на сходимость $\int\limits_{0}^{1}\frac{(1-\frac{a^2x^2}{2})^2}{x^2}dx$. Тогда получиться, что $\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx +\int\limits_{0}^{1}\frac{-a^2x^2+\frac{a^4x^4}{4}}{x^2} dx$. Получим $1$ расходиться $2$ сходится? Весь интеграл расходиться ? Если сразу сравнить подынтегральную функцию $\frac{\cos^2(ax)}{x^2}$ с $\frac{1}{x^2}$.То $\frac{\cos^2(ax)}{x^2}< \frac{1}{x^2}$ при $x \to 0$. И из расходимости $\frac{1}{x^2}$ не следует расходимость $\frac{\cos^2(ax)}{x^2}$.Спасибо!

[thething]

dima_1985 в сообщении #1314895 писал(а):

Если сразу сравнить подынтегральную функцию $\frac{\cos^2(ax)}{x^2}$ с $\frac{1}{x^2}$.То $\frac{\cos^2(ax)}{x^2}< \frac{1}{x^2}$ при $x \to 0$. И из расходимости $\frac{1}{x^2}$ не следует расходимость $\frac{\cos^2(ax)}{x^2}$

А я Вам предложил применить предельный признак.
Ну и на всякий случай, вот как выглядит эквивалентность у косинуса: $\cos x-1\sim -\frac{x^2}{2}$. То, что Вы пытаетесь применить называется отрезок формулы Тейлора и без остаточного члена использовать это нельзя (ну, скажем так, не стОит этого делать).

[iifat]

Подынтегральная функция имеет особенность в единственной точке. В прочих — вполне добропорядочная, непрерывная, ограниченная, вполне себе интегрируемая. Что если попытаться проинтегрировать её в некоторой маленькой окрестности этой самой единственной точки?

[dima_1985]

Ну да предельный признак будет проще $\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\cos^2(ax)}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=1 $.Расходится . Хочу довести способ с разложением до конца $\cos^2(ax)=(1-\frac{a^2x^2}{2}+o(\frac{a^2x^2}{2}))^2 = 1-a^2x^2+o(a^2x^2) $. Дальше $\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx- \int\limits_{0}^{1} \frac{a^2x^2}{x^2}dx + \int\limits_{0}^{1}o(\frac{1}{x^2}a^2x^2)dx$. Дальше $1$-расходиться ,$2$-сходиться $3$-сходиться(так как $o(a^2) < a^2$ ?

[thething]

Лучше использовать О-большое и в последнем интеграле просто воспользоваться определением этого О-большого.

-- 25.05.2018, 20:39 --

По мне, так это пуляние из пушки по воробьям. Ну найдите задачу, в которой без этого метода не обойтись, так и посодержательнее будет, и задача будет явно посложнее.