Оценить интеграл, зависящий от параметров

[Aiyyaa]

Помогите пожалуйста оценить интеграл
$I$ это сингулярный интеграл с весом Якоби, $-1<\alpha, \beta<0$, $-1\leqslant x \leqslant 1$,
допустим $x$ выбрали на отрезке $[0,1]$ и $\delta_n$ это окрестность точки $x$, $\frac{1-x}{2} < \delta_n< 1 - x $

$$I = \int\limits_{x+\delta_n}^{1}(1-t)^\alpha(1+t)^\beta\frac{r_n(t)-r_n(x)}{t-x}dt$$

где $r_n(t) = |I(\varphi,t) - I(L_n(\varphi, t))|$ - погрешность интегрирования, $\varphi(t)$ - функция плотности,
и нужно оценить значение интеграла
$I$.
Так как $t$ принимает значения от $x + \delta_n $ до $1$, то $(1+t)^\beta$ можно оценить как $(1+t)^\beta = O(1)$, $|r_n(t) - r_n(x)|$ можно оценить как $2\cdot \underbrace{ \max}_{-1 \leqslant x \leqslant 1}|r_n(x)|$, и тогда
$|I| \leqslant \int\limits_{x+\delta_n}^{1}(1-t)^\alpha(1+t)^\beta \frac{|r_n(t) - r_n(x)|}{|t-x|}dt = \newline = O(1)2\cdot \underbrace{ \max}_{-1 \leqslant x \leqslant 1}|r_n(x)| \int\limits_{x+\delta_n}^{1}(1-t)^\alpha\frac{1}{|t-x|}dt$
и дальше я не знаю, как оценивать оставшийся интеграл, подскажите пожалуйста как.

[Vince Diesel]

Ну, как-нибудь то оценить можно. Поскольку $x+\delta_n>0$, а на промежутке интегрирования $t-x\ge\delta_n>0$, то

$$ \int\limits_{x+\delta_n}^{1}(1-t)^\alpha\frac{1}{|t-x|}\,dt\le \delta_n^{-1}\int\limits_{x+\delta_n}^{1}(1-t)^\alpha\,dt= \delta_n^{-1}((1-x-\delta_n)^{\alpha+1}-1)/(\alpha+1). $$

[Aiyyaa]

Vince Diesel в сообщении #1313594 писал(а):

Ну, как-нибудь то оценить можно. Поскольку $x+\delta_n>0$, а на промежутке интегрирования $t-x\ge\delta_n>0$, то

$$ \int\limits_{x+\delta_n}^{1}(1-t)^\alpha\frac{1}{|t-x|}\,dt\le \delta_n^{-1}\int\limits_{x+\delta_n}^{1}(1-t)^\alpha\,dt= \delta_n^{-1}((1-x-\delta_n)^{\alpha+1}-1)/(\alpha+1). $$

но интеграл
$\int\limits_{x+\delta_n}^{1}(1-t)^\alpha\,dt$
равен
$\int\limits_{x+\delta_n}^{1}(1-t)^\alpha\,dt= -\frac{(1-t)^{\alpha+1}}{\alpha + 1}$
и при подстановке верхнего и нижнего пределов интегрирования получается
$\frac{1-x-\delta_n}{\alpha+1}$? Откуда берётся ещё и $-1$ в числителе?

[Vince Diesel]

Неправильно посчитал.