2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Возрастающий многочлен на отрезке
Сообщение16.05.2018, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Пусть имеется возрастающий многочлен $f(x)=a_1x_1+\dots+a_nx^n$ на отрезке $[0,1]$, такой что $f(0)=0$, $f(1)=1$. Найти ограничения по модулю для его коэффициентов вида $0\le a_1\le c_1$; $|a_i|\le c_i$, $2\le i\le n$. При $n=2$ получается $c_1=2$, $c_2=1$, и это просто. При $n=3$ у меня получилось $c_1=9$, $c_2=6$, $c_3=4$, и это было непросто (и не уверена, правильно ли), исходила из неотрицательности производной, это квадратичная функция. Но как быть в общем случае? Не обязательно точные верхние границы, хотя бы оценки сверху.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возрастающий многочлен на отрезке
Сообщение17.05.2018, 02:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
alisa-lebovski в сообщении #1312779 писал(а):
При $n=3$ у меня получилось $c_1=9$
Выглядит сомнительно. Было бы интересно посмотреть на любой пример с $a_1>3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возрастающий многочлен на отрезке
Сообщение17.05.2018, 09:31 


05/06/17

87
Можно попробовать оценить линейные комбинации коэффициентов, если ввести $F(x):=f(x/2+1/2)$.
Надо $F'$ представить в виде линейной комбинации $F'=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\lambda_k T_k$, где $T_k$ -- многочлены Чебышева первого рода. Для коэффициентов неотрицательных многочленов такого вида на $[-1,1]$ есть точное неравенство (надо только разделить на $\lambda_0$, что естественно).
Кроме того, если $\lambda_0=0$, то $F'\geqslant0$ на $[-1,1]\iff\lambda_k=0$, $k=1,\ldots n-1$.
Муторный способ, однако)

Ещё можно попробовать получить оценки из представлений (Лукача ?) для $f'$:
$$
f'(x):=\left(\sum\limits_{k=0}^\nu c_k x^k\right)^2+(1-x)x\left(\sum\limits_{k=0}^{\nu-1} b_k x^k\right)^2,
$$
если $n-1=2\nu$, и
$$
f'(x):=x\left(\sum\limits_{k=0}^\nu c_k x^k\right)^2+(1-x)\left(\sum\limits_{k=0}^{\nu} b_k x^k\right)^2,
$$
если $n-1=2\nu+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возрастающий многочлен на отрезке
Сообщение17.05.2018, 09:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Mishka_Barni
Подскажите, пжл, это пока только теория или можно получить какие-то простые оценки для $a_1$ в случае $n=3?$ (Задача показалась интересной, но я пока поленился вникнуть в Ваш метод.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Возрастающий многочлен на отрезке
Сообщение17.05.2018, 10:19 


05/06/17

87
Это подход для произвольного $n$, не самый лучший. По сути я перешёл от неотрицательных алгебраических многочленов к тригонометрическим. Для последних можно применить неравенство Фейера. Т. е. можно оценить линейные комбинации коэффициентов $a_k$.

grizzly в сообщении #1312837 писал(а):
можно получить какие-то простые оценки для $a_1$ в случае $n=3?$

Для $n=3$, по моему (не проверял), можно вообще все такие многочлены описать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возрастающий многочлен на отрезке
Сообщение17.05.2018, 13:08 


14/01/11
2916
grizzly в сообщении #1312815 писал(а):
Выглядит сомнительно. Было бы интересно посмотреть на любой пример с $a_1>3$.

Вот что выдаёт вольфрам в ответ на
Код:
Maximize[{Abs[#],MinValue[{a1+2*a2*x+3*a3*x^2,0<=x<=1},{x},Reals]>=0 && (a1+a2+a3==1)},{a1,a2,a3},Reals]&/@{a1,a2,a3}
:
Код:
{{4,{a1->4,a2->-6,a3->3}},{3+2 Sqrt[3],{a1->4+2 Sqrt[3]+1/2 (-4-2 Sqrt[3])-1/2 Sqrt[-3+6 (-3-2 Sqrt[3])+(-3-2 Sqrt[3])^2],a2->-3-2 Sqrt[3],a3->1/2 (4+2 Sqrt[3])+1/2 Sqrt[-3+6 (-3-2 Sqrt[3])+(-3-2 Sqrt[3])^2]}},{4,{a1->3,a2->-6,a3->4}}}

 Профиль  
                  
 
 Re: Возрастающий многочлен на отрезке
Сообщение17.05.2018, 13:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Sender
Здорово, спасибо!

Разрыв шаблона: конечно, уже для многочлена третьей степени первая производная может обнуляться внутри интервала (для больших степеней я это сообразил, а здесь проморгал -- думал, что только в точке 1). Тем интереснее :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Возрастающий многочлен на отрезке
Сообщение17.05.2018, 13:38 


21/05/16
4292
Аделаида

(Оффтоп)

Null, куда вы пост утащили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возрастающий многочлен на отрезке
Сообщение17.05.2018, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Тогда есть смысл искать в общем случае такие многочлены для произвольного $n$, первые производные которых имеют $\lfloor (n-1)/2 \rfloor$ пар кратных корней на интервале. Для чётных $n$ последний некратный корень будет в точке 1. От этого пока далеко до общего вида, но хотя бы добавляет понимания.

-- 17.05.2018, 13:43 --

И это пока только для $a_1$ (может и не только, я не уверен).

 Профиль  
                  
 
 Re: Возрастающий многочлен на отрезке
Сообщение17.05.2018, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
По этой логике могу предположить, что при $n=4$ коэффициент $a_1$ будет максимальным на многочлене $6x-15x^2+16x^3-6x^4$.

Если так, то пока для $a_1$ получается последовательность чётных натуральных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возрастающий многочлен на отрезке
Сообщение17.05.2018, 17:20 


05/06/17

87
При $n=3$ вроде бы всё выписывается. У меня получилось, что $0\leqslant a_1\leqslant 4$, $-(3+2\sqrt 3)\leqslant a_2\leqslant 3$, $-2\leqslant a_3\leqslant 4$. Максимум $a_1$ принимает на многочлене: $3x^3-6x^2+4x$. Если не допустил ошибку :-(

(Оффтоп)

а что вольфрам выдаёт в ответ не совсем понял

 Профиль  
                  
 
 Re: Возрастающий многочлен на отрезке
Сообщение17.05.2018, 17:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Mishka_Barni в сообщении #1312915 писал(а):
а что вольфрам выдаёт в ответ не совсем понял
Для $a_1$ -- то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возрастающий многочлен на отрезке
Сообщение17.05.2018, 17:40 


14/01/11
2916
Mishka_Barni в сообщении #1312915 писал(а):
а что вольфрам выдаёт в ответ не совсем понял

Для каждого из коэффициентов a1, a2, a3 максимум его модуля и соответствующие значения всех коэффициентов многочлена, на котором он достигается. В общем, всё согласуется с вашим результатом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возрастающий многочлен на отрезке
Сообщение17.05.2018, 17:48 


05/06/17

87
Спасибо. Теперь разобрал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возрастающий многочлен на отрезке
Сообщение17.05.2018, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Ну вот, значит, я только $c_3$ правильно определила. Запуталась в неравенствах. На самом деле мне достаточно грубой оценки, даже на модули всех сразу коэффициентов. Нужно это для схемы перебора всех таких многочленов (с мелким шагом по каждому коэффициенту), при этом лишние (не возрастающие) все равно будут отбраковываться, но зато важно не упустить существующие.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group