Возрастающий многочлен на отрезке

[Sender]

Вот на всякий случай код функции для математики, которая позволяет отыскивать многочлены, максимизирующие $m$-й коэффициент многочлена $n$-го порядка в соответствии с описанным методом:

maxp[n_, m_] := (k = Floor[(n - 1)/2]; R = Range[k]; 
  cf = Unique[] & /@ R; 
  df[x_] := (1 - x)^Mod[n - 1, 2]*(Plus @@ (((x^(# - 1)) & /@ R).cf) + x^k)^2; 
  f[x_] := Integrate[df[t], {t, 0, x}]; 
  norm = f[1]; 
  Expand[FullSimplify[(f[x]/norm) /.Maximize[Abs[CoefficientList[f[x], x][[m + 1]]/norm], cf,Reals][[2]]]]);

С её помощью находятся многие многочлены из фигурировавших в теме, например, $maxp[5,1]$ даёт $9x-36x^2+68x^3-60x^4+20x^5.$

[alisa-lebovski]

Mishka_Barni в сообщении #1312835 писал(а):

Ещё можно попробовать получить оценки из представлений (Лукача ?) для $f'$:

$$ f'(x):=\left(\sum\limits_{k=0}^\nu c_k x^k\right)^2+(1-x)x\left(\sum\limits_{k=0}^{\nu-1} b_k x^k\right)^2, $$

если $n-1=2\nu$, и

$$ f'(x):=x\left(\sum\limits_{k=0}^\nu c_k x^k\right)^2+(1-x)\left(\sum\limits_{k=0}^{\nu} b_k x^k\right)^2, $$

если $n-1=2\nu+1$.

А где можно найти про упомянутое представление Лукача? Верна ли вторая формула?

[mihiv]

Если уже найдены многочлены степеней $m,n: f_m(x), f_n(x) $, то можно построить многочлен нужного вида степени $m+n: f_{m+n}(x)=f_m(x)f_n(x)$. Это также дает экспоненциальный рост нижней оценки максимума модулей коэффициентов.