2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 невозможность качения без проскальзывания
Сообщение08.05.2018, 00:29 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Задача двумерная. В вертикальной плоскости имеется выпуклая вниз чашка т.е. выпуклая вниз кривая, заданная своим натуральным уравнением $k=k(s)\in C^\infty(\mathbb{R}),\quad k>0.$
Наинизшей точке чашки отвечает значение натурального параметра $s=0.$
По дну чашки катается в поле силы тяжести однородный диск массы $m$ радиуса $r$. Известно, что при $s\ne 0$ выполнено неравенство $k(s)<1/r$ и $k(0)=1/r$; кроме того в любом положении диск касается чашки в единственной точке.

Доказать, что диск не может без проскальзывания кататься по дну чашки совершая при этом периодическое движение.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: невозможность качения без проскальзывания
Сообщение08.05.2018, 21:14 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Тот случай ,когда факт интересней самой задачи. В точке кривой где кривизна совпадает с кривизной диска происходит заклинивание. С какой стати казалось бы , ведь это всего одна единственная точка

 Профиль  
                  
 
 Re: невозможность качения без проскальзывания
Сообщение09.05.2018, 00:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5293
ФТИ им. Иоффе СПб
pogulyat_vyshel в сообщении #1311063 писал(а):
В точке кривой где кривизна совпадает с кривизной диска происходит заклинивание.
А на "бытовом" уровне это каждый "джипер" знает. Если колесо забуксовало (прокопало ямку со своим радиусом кривизны), то выкапывать колесо бесполезно - оно опять закопается. Надо его приподнять и либо подложить что-то под него, либо передвинуть (уронить машину в сторону). Над физикой этого явления не задумывался. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: невозможность качения без проскальзывания
Сообщение09.05.2018, 03:31 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Не, ну физика тут ни при чем. Это чисто математический фокус.
Физическое заклинивание порисходит, когда поверхности начинают соприкасаться сплошняком, а не в "одной точке". Если в точке минимума радиусы кривизны различны, зазор между колесом и кривой ведет себя как $s^2$ и заклинивания заведомо не происходит, поскольку сила трения вполне себе способна синхронизировать вращение колеса и движение его ЦТ.
Если же в этой точке радиусы кривизны совпадают, то зазор себя ведет скорее всего как $s^4$. Вроде как тоже заклинивания не наблюдается. Но чем противна эта точка? А тем что при приближении к ней ЦТ колеса движется по траектории с радиусом кривизны $k-r$, который в критической точке превращается в ноль. А это значит что реакция опоры превращается в бесконечность. То есть скорее всего в этой точке траектория ЦТ теряет гладкость, то есть теряет гладкость направление скорости ЦТ. Но у нас ведь если нет проскальзывания, энергия не теряется. А значти угловая скорость вращения - гладкая функция. Значит в этой точке произойдет рассогласование вращения и движения ЦТ и должна возникнуть прокрутка.

 Профиль  
                  
 
 Re: невозможность качения без проскальзывания
Сообщение09.05.2018, 10:05 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
fred1996 в сообщении #1311110 писал(а):
реакция опоры превращается в бесконечность.

Я тоже так думаю. Таким образом происходит удар. А дальше вопрос как ведет себя диск после удара? Что он заклинит, покатится в обратную сторону , подскочит? Вот это интересно было бы покрутить, ударную реакцию посчитать, гипотезы о характере удара разные применить.

Оставлю ключевые формулы. Пусть $s(t)$ -- закон движения точки контакта по кривой, на картинке $s$ увеличивается слева направо. Скорость центра масс диска направлена вдоль касательной в точке контакта и вычисляется по формуле $v=(1-kr)\dot s$, а угловая скорость диска по формуле $\omega=(k-1/r)\dot s$. Все это конечно в предположении непроскальзывания.

 Профиль  
                  
 
 Re: невозможность качения без проскальзывания
Сообщение09.05.2018, 10:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11357
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1311153 писал(а):
$v=(1-kr)\dot s$, а угловая скорость диска по формуле $\omega=(k-1/r)\dot s$.
Или, если обозначить через $\tau$ параметр длины на линии движения центра, мы имеем $-r\dot{\phi}=\dot{\tau}$ и связь интегрируется в $\tau r +\phi =c$.

Ну и движение описывается лагранжианом $K\dot{\tau}^2 -mg h(\tau)$, где $h(\tau)$ высота центра над минимумом. И тогда непонятно основное утверждение. Да, конечно, $\dot{s}$ обращается в бесконечность при $s=0$, ну и что? Это же скорость точки контакта, которая нематериальна

На картинке при кривой $y=x^2/2$ показаны линии движения центра при разных $r$, синим--при $r=1$. А зеленым: линия центров кривизны


Вложения:
centers.png
centers.png [ 5.15 Кб | Просмотров: 2426 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: невозможность качения без проскальзывания
Сообщение09.05.2018, 11:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
fred1996 предложил хорошую идею: рассмотреть траекторию центра колеса. То есть, перейти от заданной кривой, к новой, смещённой от неё на постоянное расстояние $r.$ Показали, что на ней есть излом, но дальнейшее рассмотрение, видимо, зависит от конкретного вида этого излома.

 Профиль  
                  
 
 Re: невозможность качения без проскальзывания
Сообщение09.05.2018, 12:36 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Red_Herring в сообщении #1311168 писал(а):
Ну и движение описывается лагранжианом $K\dot{\tau}^2 -mg h(\tau)$, где $h(\tau)$ высота центра над минимумом. И тогда непонятно основное утверждение. Да, конечно, $\dot{s}$ обращается в бесконечность при $s=0$, ну и что? Это же скорость точки контакта, которая нематериальна


Это так. Я там с асимптотикой просчитался у меня получалось ,что $\dot s$ ограничено. Асимптотику считать надо аккуратно, вот как вы написали тоже само по себе ни чего не прояснятет, функция $h$ может быть какой угодно a priori. Но вроде $h(\tau)\sim const\cdot \tau^{4/3}$ при $\tau\to 0$ (если больших вырождений нет) если опять не проврался. И тогда вырождение связи в задаче с шаром на поверхности так просто одномерной задачкой не моделируется, там значит уже интересней

 Профиль  
                  
 
 Re: невозможность качения без проскальзывания
Сообщение09.05.2018, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11357
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1311226 писал(а):
Но вроде $h(\tau)\sim \operatorname{const}\cdot \tau^{4/3}$ при $\tau\to 0$
 По крайней мере при $y=x^2/2r$ это так. На первый взгляд это противоречит картинке, которую я присобачил: у выделенной кривой виден излом. Но при увеличении видно, что это так, с константой 1, а потом эта линия идет чуть выше чем 4/3 парабола.

-- 09.05.2018, 06:18 --

Другой случай: когда $k(0)>1/r$ и образуется "мертвая зона". Но вообще-то не факт что при $k(0)\approx 1/r$, математическая модель адекватна.

pogulyat_vyshel в сообщении #1311226 писал(а):
И тогда вырождение связи в задаче с шаром на поверхности так просто одномерной задачкой не моделируется, там значит уже интересней
Безусловно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group