2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать без калькулятора
Сообщение26.04.2018, 21:40 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Докажите, что
$$\left(\frac{12}{11}\right)^{\sqrt6}>\left(\frac{11}{10}\right)^{\sqrt5}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение26.04.2018, 22:31 
Заслуженный участник


26/05/14
981

(Оффтоп)

Логарифмируем, разности логарифмов оцениваем через производную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение26.04.2018, 23:02 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
slavav
Показали бы... Вы уверены, что обойдётесь без калькулятора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение27.04.2018, 00:13 


20/04/10
1776
Запишем $10^{\sqrt{5}}12^{\sqrt{6}}>11^{\sqrt{5}}11^{\sqrt{6}}$. Заметим, что 120 и 121 "близкие" числа, в связи с этим запишем $120^{\sqrt{5}}12^{\sqrt{6}-\sqrt{5}}>121^{\sqrt{5}}11^{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$. Возведём обе части в степень $\sqrt{6}+\sqrt{5}$, тогда $120^{\sqrt{30}+5} 12>121^{\sqrt{30}+5}11$. Запишем в виде $1+1/11>(1+1/120)^{\sqrt{30}+5}$. Используя формулу Тейлора для функции $f(x)=(1+x)^\alpha$, убеждаемся в справедливости неравенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение27.04.2018, 08:12 


05/09/16
11453
lel0lel в сообщении #1307794 писал(а):
Используя формулу Тейлора для функции $f(x)=(1+x)^\alpha$, убеждаемся в справедливости неравенства.

Так покажите :) Там же разница в 4-м знаке

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение27.04.2018, 09:05 
Заслуженный участник


26/05/14
981
arqady в сообщении #1307765 писал(а):
slavav
Показали бы... Вы уверены, что обойдётесь без калькулятора?

Нет, не покажу. У меня слабый результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение27.04.2018, 09:32 
Аватара пользователя


15/04/15
1570
Калининград
А я бы, имея мозги 6-7классника, рассмотрела отношения как тангенсы и сравнила разности:
$12^\sqrt{6}$ - $11^\sqrt{5}$ и $11^\sqrt{6}$ - $10^\sqrt{5}$, заменив степени на некоренные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение27.04.2018, 09:47 


03/06/17

67
Почему нельзя сделать так?
$120^{\sqrt{5}+\sqrt{6}}>121^{\sqrt{5}+\sqrt{6}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение27.04.2018, 09:50 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
root721 в сообщении #1307824 писал(а):
$120^{\sqrt{5}+\sqrt{6}}>121^{\sqrt{5}+\sqrt{6}}$
А то, что это неравенство неверно, несущественно? :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение27.04.2018, 10:09 


05/09/16
11453
Пока мысли не ускакали, запишу частное левой и правой частей, вдруг пригодится.
$$\dfrac{2^{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{6}}3^{\sqrt{6}}5^{\sqrt{5}}}{11^{\sqrt{5}+\sqrt{6}}}>1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение27.04.2018, 11:38 


20/04/10
1776
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: $f(x)=1+\alpha x+ \alpha(\alpha-1) \frac{x^2}{2}+\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \frac{x^3}{6}(1+\xi x)^{\alpha-3}$, где $0<\xi<1.$ Оценим остаточный член для нашего случая: $(\sqrt{30}+5)(\sqrt{30}+4)(\sqrt{30}+3)(1+\xi/120)^{(\sqrt{30}+2)}/(6\cdot120^3)<\frac{420+77\sqrt{30}}{4\cdot 120^3}$, эта оценка основана на $(\sqrt{30}+5)(\sqrt{30}+4)(\sqrt{30}+3)=420+77\sqrt{30}$, $(1+1/120)^{(\sqrt{30}+2)}<e^{1/15}<3/2$ (значение 3/2 для удобства). Заметим, что $420+77\sqrt{30}<960$ (так грубо, чтобы было кратно 120), тогда остаётся проверить, что $$\frac{1}{11}>\frac{\sqrt{30}+5}{120}+\frac{50+9 \sqrt{30}}{2\cdot 120^2}+\frac{960}{4\cdot 120^3}.$$ Превозмогая желание взять калькулятор, проделываем преобразования в правой части и получаем $1/11>209/4800+83 \sqrt{30}/9600$ или $5002>913 \sqrt{30}$. Возводя в квадрат обе части, получим 25020004>25007070.

(Оффтоп)

Калькулятором под конец я пользовался)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение27.04.2018, 11:48 


05/09/16
11453
lel0lel в сообщении #1307880 писал(а):
$(1+1/120)^{(\sqrt{30}+2)}<e^{1/15}$

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение27.04.2018, 11:55 


20/04/10
1776
$(1+1/120)^{120}<e$, так как функция $g(x)=(1+1/x)^x$ монотонно возрастает и стремится к известному пределу. Тогда $(1+1/120)^8<e^{1/15}$, а поскольку $\sqrt{30}+2<8$, то мы получим требуемое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение30.04.2018, 04:41 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
$$\left(\frac{12}{11}\right)^{\sqrt6}>\left(\frac{11}{10}\right)^{\sqrt5}$$
$$\left(\frac{12}{11}\right)^{\sqrt6}\left(\frac{10}{11}\right)^{\sqrt5}>1$$
возводим в степень $\sqrt{\frac{2}{11}}$:
$$\left(\frac{12}{11}\right)^{\sqrt{\frac{12}{11}}}\left(\frac{10}{11}\right)^{\sqrt{\frac{10}{11}}}>1$$
$$\left(1+\frac1{11}\right)^{\sqrt{1+\frac1{11}}}\left(1-\frac1{11}\right)^{\sqrt{1-\frac1{11}}}>1$$
$$(1+x)^{\sqrt{1+x}}(1-x)^{\sqrt{1-x}}>1$$
логарифмируем:
$$\sqrt{1+x}\ln(1+x)+\sqrt{1-x}\ln(1-x)>0$$
Дальше дифференцируем $\sqrt{1+x}\ln(1+x)$ и выясняем, что все чётные производные неотрицательны (а нечётные в сумме сокращаются).
Всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение30.04.2018, 12:19 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
My congratulations! :D Ваша функция действително положительна при $0<x<1$. Ваш способ доказательства, правда, непонятен для меня. Почему все чётные производные неотрицательны? Трудности, по-моему, возникают уже с нулевой производной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group