2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение18.07.2018, 23:23 


09/07/18
9
$ \left ( \frac{12}{11} \right )^{\sqrt{6}}>\left ( \frac{11}{10} \right )^{\sqrt{5}}$


Док-во:
$\sqrt{6}=\sqrt{5}+\sqrt{11-2\sqrt{30}} \implies  \left ( \frac{12}{11} \right )^{\sqrt{5}}\cdot \left ( \frac{12}{11} \right )^{\sqrt{11-2\sqrt{30}}}>\left ( \frac{11}{10} \right )^{\sqrt{5}}\implies \left ( \frac{12}{11} \right )^{\sqrt{\frac{11-2\sqrt{30}}{5}}}>\frac{121}{120} $

Но

$\sqrt{\frac{11-2\sqrt{30}}{5}}>\frac{1}{\sqrt{11}}>\frac{1}{4}$

И тогда остаётся проверить что

$\frac{12}{11}>\left(\frac{121}{120}\right)^4$

Или что то же что и

$12^5\cdot 10^4> 11^9$

В чем можно убедиться при помощи бумаги и ручки.




Проверьте, пожалуйста.
При необходимости могу дополнить промежуточные ходы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение19.07.2018, 06:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
ps16015 в сообщении #1327557 писал(а):
Проверьте, пожалуйста.
При необходимости могу дополнить промежуточные ходы.
Начните вот так (и очень быстро найдете ошибку)

$\sqrt{6}=\sqrt{5}+(\sqrt{6}-\sqrt{5})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение19.07.2018, 08:04 


05/09/16
11453
ps16015 в сообщении #1327557 писал(а):
Но

$\sqrt{\frac{11-2\sqrt{30}}{5}}>\frac{1}{\sqrt{11}}$

Это неравенство неверное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение19.07.2018, 10:41 


09/07/18
9
$\left ( \frac{12}{11} \right )^{\sqrt{6}}>\left ( \frac{11}{10} \right )^{\sqrt{5}}$

Заметим что изначальное неравенство эквивалентно
$\sqrt{6}>\sqrt{5}\log_{\frac{12}{11}}\frac{11}{10}$

Что в свою очередь эквивалентно
$\sqrt{6}(\ln(12)-\ln(11))>\sqrt5(\ln(11)-\ln(10))$

Или
$\sqrt{6}\ln(12)+\sqrt5\ln(10)>\ln(11)(\sqrt6+\sqrt5)$

Рассмотрим теперь уравнение
$1+x+\frac{x^2}{2}=11$

Его решение есть
$x=\frac{-1+\sqrt{21}}{4}$

Теперь воспользуемся неравенством
$x>\ln\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)$
(его можно получить, например, из ряда для $e^x$)
И заметим что
$\ln(12),\ln(11)>2$

Тогда получим
$\sqrt{6}\ln(12)+\sqrt5\ln(10)>2(\sqrt6+\sqrt5)>\frac{-1+\sqrt{21}}{4}(\sqrt6+\sqrt5)>\ln(11)(\sqrt6+\sqrt5)$

Где в среднем неравенстве несложно убедиться.

Проверьте, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение19.07.2018, 11:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
ps16015 в сообщении #1327603 писал(а):
Тогда получим
$\sqrt{6}\ln(12)+\sqrt5\ln(10)>2(\sqrt6+\sqrt5)>\frac{-1+\sqrt{21}}{4}(\sqrt6+\sqrt5)>\ln(11)(\sqrt6+\sqrt5)$

Не получим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение19.07.2018, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
ps16015 в сообщении #1327603 писал(а):
$1+x+\frac{x^2}{2}=11$

Его решение есть $x=\frac{-1+\sqrt{21}}{4}$
Если бы Вы попытались решить это уравнение в уме, выделив полный квадрат, вряд ли тогда настолько ошиблись бы.

ps16015 в сообщении #1327603 писал(а):
Где в среднем неравенстве несложно убедиться.
Только с правильными корнями оно не выполняется.

Остальное не проверял -- выделил время на выборочную проверку из соображений "цена / качество".

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение19.07.2018, 12:26 


05/09/16
11453
ps16015
Поскольку здесь не ПРР, и не смотря на то что надо "доказать без калькулятора", ваши выкладки легко проверять например в вольфрам альфе. Вот решение уравнения $1+x+x^2/2=11$ : https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... 2%2F2%3D11

По неравенствам.
ps16015 в сообщении #1327603 писал(а):
$\sqrt{6}\ln(12)+\sqrt5\ln(10)>2(\sqrt6+\sqrt5)>\frac{-1+\sqrt{21}}{4}(\sqrt6+\sqrt5)>\ln(11)(\sqrt6+\sqrt5)$

Первое верно https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt(6)*log(12)%2Bsqrt(5)*log(10)-2*(sqrt(6)%2Bsqrt(5))
Второе https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*(sqrt(6)%2Bsqrt(5))-((-1%2Bsqrt(21))%2F4)*(sqrt(6)%2Bsqrt(5)) тоже верно, но если подставить правильный корень ($x=\sqrt{21}-1$), то неверно: https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*(sqrt(6)%2Bsqrt(5))-((-1%2Bsqrt(21)))*(sqrt(6)%2Bsqrt(5))

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать без калькулятора
Сообщение19.07.2018, 12:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
wrest в сообщении #1327623 писал(а):
ps16015
Поскольку здесь не ПРР, и не смотря на то что надо "доказать без калькулятора", ваши выкладки легко проверять например в вольфрам альфе. Вот решение уравнения $1+x+x^2/2=11$ : https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... 2%2F2%3D11

По неравенствам.
ps16015 в сообщении #1327603 писал(а):
$\sqrt{6}\ln(12)+\sqrt5\ln(10)>2(\sqrt6+\sqrt5)>\frac{-1+\sqrt{21}}{4}(\sqrt6+\sqrt5)>\ln(11)(\sqrt6+\sqrt5)$

Не нужны никакие вольфрамы, т.к. здесь очевидно неверное неравенство
$2>\ln(11)$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group