Помогите найти интегралы движения для функции Лагранжа

[AHOHbIMHO]

...следующего вида:
${\it L}=2\,{\frac {{\frac {d}{dt}}x(t)}{w(t)}}+2\,w(t)+{\frac {{t}^{2 }\left ({\frac {d}{dt}}y(t)\right )^{2}}{w(t)}}-{\frac {tx(t)\left ({ \frac {d}{dt}}z(t)\right )^{2}}{w(t)}}+{\frac {{t}^{3}w(t)\left (z(t) \right )^{2}{a}^{2}\left (y(t)\right )^{2}}{x(t)}}-w(t){t}^{2}\left (z (t)\right )^{2}{b}^{2}$

То же самое в Maple:
L := 2*diff(x(t),t)/w(t)+2*w(t)+t^2*diff(y(t),t)^2/w(t)-t*x(t)*diff(z(t),t)^2/w(t)+t^3*w(t)*z(t)^2*a^2*y(t)^2/x(t)-w(t)*t^2*z(t)^2*b^2;

t - время;
x,y,z,w - обобщенные координаты;
a,b - константы;

Я даже не знаю, как подступиться. Может быть теорему Нетер как-то применить можно?

[LynxGAV]

Можно узнать, откуда взялась такая задача? Смотрю - абракадабра. Не пробовали полную производную по времени от какой-то функции выделить, чтобы откаких-то слагаемых для начала избавиться?

[AHOHbIMHO]

LynxGAV писал(а):

Можно узнать, откуда взялась такая задача? Смотрю - абракадабра.

На самом деле t - это радиус.
Исходная задача - поиск стационарного самосогласованного решения нескольких полей. Рассматривается центрально-симметричное решение. Перешел в сферические координаты и получилась эффектривная функция Лагранжа. r обозначил как t.

[LynxGAV]

AHOHbIMHO писал(а):

На самом деле t - это радиус.
Исходная задача - поиск стационарного самосогласованного решения нескольких полей. Рассматривается центрально-симметричное решение. Перешел в сферические координаты и получилась эффектривная функция Лагранжа. r обозначил как t.

Дела это не меняет, а я обозначу t через r.

AHOHbIMHO писал(а):

${\it L}=2\,{\frac {{\frac {d}{dr}}x(r)}{w(r)}}+2\,w(r)+{\frac {{r}^{2 }\left ({\frac {d}{dr}}y(r)\right )^{2}}{w(r)}}-{\frac {rx(r)\left ({ \frac {d}{dr}}z(r)\right )^{2}}{w(r)}}+{\frac {{r}^{3}w(r)\left (z(r) \right )^{2}{a}^{2}\left (y(r)\right )^{2}}{x(r)}}-$$w(r){r}^{2}\left (z (r)\right )^{2}{b}^{2}$

Это ж в каком резонансе надо с Вами быть, чтобы догадаться, что функция Лагранжа записана для полей и так или иначе это ТП.

То есть временной зависимости вообще нет? Поля какие вообще? То, что я знаю под названием "самосогласованное поле"?

[AHOHbIMHO]

LynxGAV писал(а):

Не пробовали полную производную по времени от какой-то функции выделить, чтобы откаких-то слагаемых для начала избавиться?

Полную производную по времени никак нельзя выделить, т.к. в каждом члене содержится функция w(t), но ни в одном члене нет ее производной по времени.

[LynxGAV]

Например, для элм поля существенно, что поля складываются, а энергии - нет, т.е. энергия двух полей просто не есть сумма энергий этих полей по отдельности. Два поля, например, гравитационное и элм, не складываются, а их энергии аддитивны.

В любом случае, если у Вас нет временной зависимости, то энергия - интеграл движения.

Нет, из-за отсутствия данных я все-таки не пойму до конца задачу.

Если есть просто поле, поля, какие-нибудь, без наложенных на него руками ограничений, то интегралы движения известны - это энергия, импульс и момент импульса - которые следуют из симметрий пространства-времени.

На парах КЭД любила посмотреть в окно, но, по памяти, теорема Нётер звучит так:
"Вариации поля на гиперповерхностях и вариации этих гиперповерхностей при функциях поля, удовлетворяющих ур-ям Эйлера-Лагранжа, оставляют действие неизменным".

То есть, по идее, надо вариировать действие на гиперповерхностях.

[AHOHbIMHO]

LynxGAV писал(а):

AHOHbIMHO писал(а):

На самом деле t - это радиус.
Исходная задача - поиск стационарного самосогласованного решения нескольких полей. Рассматривается центрально-симметричное решение. Перешел в сферические координаты и получилась эффектривная функция Лагранжа. r обозначил как t.

Дела это не меняет, а я обозначу t через r.

AHOHbIMHO писал(а):

${\it L}=2\,{\frac {{\frac {d}{dr}}x(r)}{w(r)}}+2\,w(r)+{\frac {{r}^{2 }\left ({\frac {d}{dr}}y(r)\right )^{2}}{w(r)}}-{\frac {rx(r)\left ({ \frac {d}{dr}}z(r)\right )^{2}}{w(r)}}+{\frac {{r}^{3}w(r)\left (z(r) \right )^{2}{a}^{2}\left (y(r)\right )^{2}}{x(r)}}-$$w(r){r}^{2}\left (z (r)\right )^{2}{b}^{2}$

Это ж в каком резонансе надо с Вами быть, чтобы догадаться, что функция Лагранжа записана для полей и так или иначе это ТП.

То есть временной зависимости вообще нет?

Я не пойму, а что меняется от того, что это ТП? Да, был исходный лагранжиан в четырехмерном пространстве координат, который не содержал координаты в явном виде. После допущения о стационарности и центрально симметричности задача свелась к минимизации действия, выражающегося как одномерный интеграл по dr. Я обозначил r как время, чтобы показать ясно, что вобщем то-это задача аналогичная, как и в лагранжиановом подходе в механике.

[LynxGAV]

А это меняет то, что только Вам известна задача, а все другие на неё как баран на новые ворота смотрят и догадываются, что Вы хотели сказать. Уверена, что в математическом разделе никто Вам ничего путного не скажет. Тут народ больше теория чисел интересует и наивно ждать каких-то советов, если нет постановки, а только формУлина, в которой по внешнему виду время оказывается радиусом...

У меня нет уверенности, что можно провести полную аналогию с механикой Лагранжа.

[LynxGAV]

Цитата:

Да, был исходный лагранжиан в четырехмерном пространстве координат, который не содержал координаты в явном виде.

У всех свое направление -- эту фразу больше пяти человек никто не поймет, а у Вас это звучит как "очевидно".
Я не "гружу", а просто хочу до Вас достучаться.

[AHOHbIMHO]

LynxGAV писал(а):

А это меняет то, что только Вам известна задача, а все другие на неё как баран на новые ворота смотрят и догадываются, что Вы хотели сказать. Уверена, что в математическом разделе никто Вам ничего путного не скажет. Тут народ больше теория чисел интересует и наивно ждать каких-то советов, если нет постановки, а только формУлина, в которой по внешнему виду время оказывается радиусом...

У меня нет уверенности, что можно провести полную аналогию с механикой Лагранжа.

Почему как баран на новые ворота? Задача чисто математическая, правда к теории чисел не имеет отношения. На мехмате разве термех не проходят? Т.е. тут мало кто знает, что такое интеграл движения?

[LynxGAV]

Знают, но, наверное, не все. Теор. мех. читают, наверное, всем. Не видела, чтобы что-то такое решали или хотя бы "заикались". Я вообще-то не как мех.мат. задачу понять хотела, а как окончившая физ.тех.

[Dolopihtis]

Т.к. в сферических координатах ,судя по всему, нет зависимости от углов , то момент импульса тоже будет интегралом. Общие формулы для получения интегралов движения из лагранжиана по теореме Нетер есть ,например, в первой главе книги Боголюбова и Ширкова "Введение в теорию квантованных полей".

[AHOHbIMHO]

Dolopihtis писал(а):

Т.к. в сферических координатах ,судя по всему, нет зависимости от углов , то момент импульса тоже будет интегралом. Общие формулы для получения интегралов движения из лагранжиана по теореме Нетер есть ,например, в первой главе книги Боголюбова и Ширкова "Введение в теорию квантованных полей".

Формулы-то по теореме Нетер я знаю. Исходный лагранжиан действительно по теореме Нетер автоматом дает тензор (второго ранга) энергии-имулься и тензор (третьего ранга) момента импульса. Дивергенция этих тензоров по первому индексу равна нулю в общем случае. Но как только я предполагаю стационарность и центрально-симметричность, эти соотношения становаятся тривиальными, и ничего информативного они не несут, т.е. о зависимти от r ничего нового не узнаем. В данном случае теорема Нетер может быть полезна только в том случае, если найдутся инфинитезмиальные преобразования, сохранающие величину Ldt (r обозначен как t), т.е.
Если $\delta(L(t,q^i(t),\dot q^i(t))dt)=0$ при $\delta t=T_a(t)\omega^a,\delta q^i(t)=Q^i_a(t)\omega^a-\dot q^i(t) T_a(t)\omega^a$, то $$ \frac {dI_a} {dt}=0,$$ где $I_a=\frac {\partial L}{\partial \dot q^i}Q^i_a-H T_a, H=\frac {\partial L}{\partial \dot q^i}\dot q^i-L$

[AHOHbIMHO]

LynxGAV писал(а):

Цитата:

Да, был исходный лагранжиан в четырехмерном пространстве координат, который не содержал координаты в явном виде.

У всех свое направление -- эту фразу больше пяти человек никто не поймет, а у Вас это звучит как "очевидно".
Я не "гружу", а просто хочу до Вас достучаться.

Так поэтому я и исходную задачу и не стал формулировать, а оставил чисто математическую часть, приведя к задаче по термеху.

[Dolopihtis]

Ну, насколько я знаю , в теории поля есть еще понятие внутренних симметрий. Для этого нужно найти матричную группу, которая преобразовывает вектор (x y z w) в себя , при этом лагранжиан должен быть инвариантным относительно этой группы. Тогда из теоремы Нетер получится еще одна сохраняющаяся величина. (заряд). Но для Вашего лагранжиана найти такую группу наверно очень сложно, если вообще возможно.