Школьный парадокс в текстовой задаче на движение)

[integral2009]

Из пункта A в пункт B едет теплоход за $7$ часов, а обратно за $5$ часов. Найти время, за которое плывет плот из А в В.

Есть 2 идеи, ответы разные. Но почему? Первая идея моя, вторая другого человека, я ее что-то не до конца понял, но мне кажется, что у него неверно. Но как объяснить -- почему неверно?

1 идея. Скорость течения равна $\dfrac{1}{5}-\dfrac{\frac{1}{5}+\frac{1}{7}}{2}=\dfrac{1}{35}$, значит $35$ часов.

2 идея. Время в пути, если бы не было течения -- $6$ часов.
Значит скорость течения в $6$ раз меньше скорости теплохода (пример можно взять, например для $S=350$, скорость по течению будет $70$, против $50$, значит скорость течения $10$, что составляет $\dfrac{1}{6}$ скорости течения, значит времени затрачивается в 6 раз больше, чем теплоход в неподвижной воде, тогда время плота будет $36$ часов, в шесть раз больше шести часов. Но результат не сходится с результатом в 1 идее.

Больше всего меня волнует -- откуда взялось утверждение скорость течения в $6$ раз меньше скорости теплохода? Как можно было до этого дойти? Я что-то не догоняю. Это магия чисел из контекста примера про 350 км? Тот человек, чья вторая идея -- не смог мне объяснить по поводу $\frac{1}{6}$. Ну и почему получились разные ответы?

-- Пн мар 19, 2018 23:51:34 --

Кстати, а походу, с другим расстоянием скорость течения -- не есть $\frac{1}{6}$ собственной скорости.

[Евгений Машеров]

Первая идея правильна. Во второй ошибочно предполагается, что если по течению 5 часов, а против 7, то в отсутствие течения $\frac {5+7} 2=6$, после чего делается вторая ошибка, вычитая время вместо скоростей.
Кстати, для частного примера видно, что, правильно вычислив скорость течения, можно разделить на неё выбранное условно расстояние в 350 км и получить 35 часов.

[mihaild]

integral2009 в сообщении #1298434 писал(а):

Из пункта A в пункт B едет теплоход за $7$ часов, а обратно за $5$ часов.

Вопрос: в какую сторону в этом случае направлено течение?) Сколько в этом случае мы по течению будем плыть из $A$ в $B$?
Если счесть это опечаткой, то всё равно непонятно, откуда

integral2009 в сообщении #1298434 писал(а):

Время в пути, если бы не было течения -- $6$ часов.

Нельзя просто усреднить время по и против течения: против течения мы плывем дольше, так что его вклад "больше". Представьте, что скорость течения почти равна скорости теплохода: в этом случае мы по течению будем плыть всего в $2$ раза меньше, чем в стоячей воде, но против течения, возможно, будем плыть ооочень долго.

[Pphantom]

integral2009 в сообщении #1298434 писал(а):

Из пункта A в пункт B едет теплоход за $7$ часов, а обратно за $5$ часов. Найти время, за которое плывет плот из А в В.

Кстати, именно в такой постановке ответ - бесконечно долго. В самом деле, вне зависимости от корректности вычисления скорости течения движение теплохода вниз по течению происходит за меньшее время, чем вверх по течению, и из условия задачи следует, что B находится выше по течению, чем A.

[integral2009]

Евгений Машеров в сообщении #1298437 писал(а):

Первая идея правильна. Во второй ошибочно предполагается, что если по течению 5 часов, а против 7, то в отсутствие течения $\frac {5+7} 2=6$, после чего делается вторая ошибка, вычитая время вместо скоростей.
Кстати, для частного примера видно, что, правильно вычислив скорость течения, можно разделить на неё выбранное условно расстояние в 350 км и получить 35 часов.

Спасибо.
1) А почему так нельзя усреднять время? Я понимаю, что время без течения $t=\dfrac{1}{\frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{7}}{2}}=\dfrac{35}{6}=5\dfrac{5}{6}$

Но можно ли с точки зрения здравого смысла объяснить -- почему нельзя усреднять время?

2) Что-то не вижу, где вычитаются скорости..

-- Вт мар 20, 2018 00:59:17 --

mihaild в сообщении #1298439 писал(а):

Вопрос: в какую сторону в этом случае направлено течение?) Сколько в этом случае мы по течению будем плыть из $A$ в $B$?
Если счесть это опечаткой, то всё равно непонятно, откуда

Плот плывет из В в А, да опечатка, спасибо.

[mihaild]

integral2009 в сообщении #1298446 писал(а):

Но можно ли с точки зрения здравого смысла объяснить -- почему нельзя усреднять время?

mihaild в сообщении #1298439 писал(а):

Представьте, что скорость течения почти равна скорости теплохода: в этом случае мы по течению будем плыть всего в $2$ раза меньше, чем в стоячей воде, но против течения, возможно, будем плыть ооочень долго.

Ну или так: если скорость теплохода $x$, течения $y$, то время по течению равно $\frac{1}{x + y}$, время против течения $\frac{1}{x - y}$, время в стоячей воде $\frac{1}{x}$.
Легко проверяется, что, вообще говоря, $\frac{1}{x} \neq \frac{\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y}}{2}$.

[integral2009]

mihaild в сообщении #1298447 писал(а):

Легко проверяется, что, вообще говоря, $\frac{1}{x} \neq \frac{\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y}}{2}$.

Хорошо, спасибо, понятно!

[Skeptic]

После драки ...

integral2009 в сообщении #1298434 писал(а):

2 идея. Время в пути, если бы не было течения -- $6$ часов.
Значит скорость течения в $6$ раз меньше скорости теплохода (пример можно взять, например для $S=350$, скорость по течению будет $70$, против $50$, значит скорость течения $10$, что составляет $\dfrac{1}{6}$ скорости течения, значит времени затрачивается в 6 раз больше, чем теплоход в неподвижной воде, тогда время плота будет $36$ часов, в шесть раз больше шести часов. Но результат не сходится с результатом в 1 идее.

Скорость течения $10$, а плот проплывёт $S=350$ за $36$ часов!?

После упрощения

$$\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7})=\dfrac{1}{35}$$

.

[Лукомор]

integral2009 в сообщении #1298446 писал(а):

Но можно ли с точки зрения здравого смысла объяснить -- почему нельзя усреднять время?

Время можно усреднять, если делать это правильно!
Существует несколько средних значений:
среднее арифметическое
среднее геометрическое
среднее гармоническое.

Если бы на все случаи жизни хватало одного среднего арифметического,
других бы просто не было.
Поскольку в формуле скорости равномерного прямолинейного движения:
$v=\frac{S}{t}$
время - в знаменателе, то и среднее время будет не средним арифметическим двух временнЫх
интервалов, а их средним гармоническим:
$\frac{1}{t_{cp}}=\frac{\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}}{2}$

Если же взять среднее арифметическое, которое составляет 6 часов,
то окажется, что 6 часов против течения пароход идет с меньшей скоростью,
и пройдет за это время 300 условных километров.
А другие 6 часов будут состоять из двух интервалов:
1 час против течения и 5 часов по течению уже с бОльшей скоростью.
За эти 6 часов пароход пройдет 400 условных километров.

Корень же парадокса скрыт в том, что если мы перейдём в систему отсчёта, связанную с плотом,
то окажется, что относительно плота скорость парохода будет равна его скорости в стоячей воде,
но при этом, относительно плота, пароход проплывет по течению 300 км, а против течения 420 км.
В сумме это даст уже не 700 км, а 720 км, относительно плота.
И тут, да! -за половину времени (6 часов) пароход пройдет половину этого расстояния (360 км).
В этом и заключается парадокс 350 км. vs 360 км.

[Skeptic]

Лукомор в сообщении #1298747 писал(а):

Корень же парадокса скрыт в том, что если мы перейдём в систему отсчёта, связанную с плотом,
то окажется, что относительно плота скорость парохода будет равна его скорости в стоячей воде,
но при этом, относительно плота, пароход проплывет по течению 300 км, а против течения 420 км.
В сумме это даст уже не 700 км, а 720 км, относительно плота.
И тут, да! -за половину времени (6 часов) пароход пройдет половину этого расстояния (360 км).
В этом и заключается парадокс 350 км. vs 360 км.

Расстояние в задаче меряется не по воде, а по берегу между городами. Поэтому из 720 км надо вычесть расстояние, которое "проплывут" города. Это будет как раз 20 км.

Никакого парадокса нет, есть ошибка в рассуждениях.

[StaticZero]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1298447 писал(а):

$\frac{1}{x} \neq \frac{\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y}}{2}$.

А правая часть равна

$$ \frac{x}{x^2 - y^2} = \frac{1}{x} \frac{1}{1 - \cfrac{y^2}{x^2}} = \frac{1}{x} \left(1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2 + \mathrm O ( (y/x)^4 ) \right). $$

Так что этот эффект всего лишь квадратичный по $y/x$, осталось только понять, можно им пренебречь или нет.

mihaild в сообщении #1298439 писал(а):

Представьте, что скорость течения почти равна скорости теплохода: в этом случае мы по течению будем плыть всего в $2$ раза меньше, чем в стоячей воде, но против течения, возможно, будем плыть ооочень долго.

Вот тут нельзя, есть априорная информация об этом. А в условии задачи, видимо, $y/x$ действительно мало.

[Лукомор]

Skeptic в сообщении #1299629 писал(а):

Поэтому из 720 км надо вычесть расстояние, которое "проплывут" города. Это будет как раз 20 км.

За 12 часов, которые теплоход затратит на прохождение "туда" и "обратно" города "проплывут" не 20 км, 120 км.
Против течения, относительно плота, теплоход проплывет 420 км. По течению - 300 км. , опять же относительно плота.
420 - 300 = 120 (км). Это разность путей "туда" и "обратно" относительно плота.
420 + 300 = 720 (км). Это общий пройденный путь теплоходом за 12 часов. Относительно воды.
Я не знаю сколько там топлива нужно теплоходу на 100 км пути, пусть это будет условных 100 литров.
Так на 720 км он потратит 720 литров.
А если вы ему дадите 700 литров, поскольку :

Skeptic в сообщении #1299629 писал(а):

Расстояние в задаче меряется не по воде, а по берегу между городами.

то за 20 км до финиша мотор заглохнет. А это условием задачи не предусмотрено.

[Skeptic]

Лукомор
В задаче сказано

Цитата:

Найти время, за которое плывет плот из А в В

.Вот и берите расстояние по суше, а не по течению.
Успехов.

[Pphantom]

Skeptic, Вас неоднократно просили не лезть в ПРР с неграмотными советами и утверждениями. Поскольку в предыдущий раз за это был месячный бан - этот становится бессрочным.