2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Аппроксимация экспоненциальной функцией
Сообщение18.03.2018, 06:23 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
Вопрос о варианте сбора экспериментальных данных. Пусть имеется процесс, достаточно точно описываемый уравнением:
$y(x)=a \exp(-b\cdot x) +c$. Для примера, пусть это разряд конденсатора через резистор. Тогда $y$ - это напряжение на конденсаторе - $U$, а $x$ - время $t$. Для измерения напряжения используется вольтметр, для измерения времени - секундомер. Есть два варианта регистрации значений пары $(U, t)$:
1. Отчёты фиксируются через равные промежутки времени $\Delta t$;
2. Отчёты фиксируются через равные значения напряжения $\Delta U$.
Задача состоит в выборе варианта, при котором точнее находятся коэффициенты $a,b,c.$
Я выбираю второй, но не знаю как это математически строго доказать. Не поможете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация экспоненциальной функцией
Сообщение18.03.2018, 11:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Краткий ответ - потому, что средние значения сигнала во втором случае больше, и отношение сигнал-шум становится лучше.
Для более полного надо задать спецификацию ошибки и указать число отсчётов (равное в обоих случаях, полагаю; если брать в одном случае много больше отсчётов, даже худший их способ выбора может дать более высокую точность).
Можно, к примеру, полагать, что число отсчётов N задано, и последний отсчёт должен соответствовать некоему значению y, по величине сравнимому с амплитудой шума (то есть последующие отсчёты будут меньше шума). Измерения отягощены аддитивной ошибкой, имеющей нормальное распределение с нулевым средним и постоянной дисперсией, причём дисперсия достаточно мала, чтобы линеаризация модели позволяла бы оценить влияние ошибки измерения на ошибки оценивания коэффициентов (если это не так - разве что монтекарлить).
Далее выписываем вспомогательную линеаризованную модель, в которой регрессоры это производные по параметрам, а регрессанд это отличие наблюдаемой величины от точного значения, и смотрим на оценки ошибок параметров этой модели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация экспоненциальной функцией
Сообщение18.03.2018, 12:07 


05/09/16
11468
Александрович в сообщении #1298023 писал(а):
Я выбираю второй, но не знаю как это математически строго доказать. Не поможете?

Вам надо оценить как ошибки того что вы измеряете (напряжение, время) влияют на ошибку определения искомых коэффициентов. Это делается через аппарат бесконечно малых, а именно -- берёте частные производные и смотрите зависимость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация экспоненциальной функцией
Сообщение18.03.2018, 12:54 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
wrest в сообщении #1298055 писал(а):
берёте частные производные и смотрите зависимость.

От какой функции брать, и на зависимость чего от чего смотреть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация экспоненциальной функцией
Сообщение18.03.2018, 13:15 


27/08/16
9426
Для начала напишите здесь ваши расчётные формулы, по которыем вы считаете коэффициенты модели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация экспоненциальной функцией
Сообщение18.03.2018, 13:33 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
realeugene, я этого сделать не смогу. Пользуюсь функцией в Экселе "Поиск решения". Как она работает, не знаю, если вы подскажите, буду благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация экспоненциальной функцией
Сообщение18.03.2018, 13:36 


05/09/16
11468
Александрович
На зависимость вычисляемых коэффициентов от измеряемых величин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация экспоненциальной функцией
Сообщение18.03.2018, 13:45 


27/08/16
9426
Александрович в сообщении #1298076 писал(а):
Как она работает, не знаю, если вы подскажите, буду благодарен.
Я не имею понятия, как она реализована. Тем более, что я сам никогда в Экселе ничего не аппроксимировал. Знаю одно: заниматься анализом ошибок, особенно, таких сильно нелинейных функций, не разобравшись сначала, что и как вы считаете, нельзя.

Кроме того, вам нужно определиться, что значит для вас "лучше". У вас три коэффициента, в рамках модели независимых ошибок измерения (что не совсем так, но в качестве первого приближения сойдёт), для определения коэффициента $c$, очевидно, лучше использовать равномерно распределённые точки по времени, а не по напряждению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация экспоненциальной функцией
Сообщение18.03.2018, 14:22 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
realeugene в сообщении #1298080 писал(а):
что значит для вас "лучше"

Точнее, ближе к действительности.

-- Вс мар 18, 2018 18:25:14 --

realeugene в сообщении #1298080 писал(а):
что и как вы считаете, нельзя.

Да причём здесь, я? Пусть вы считаете. Какой вариант вы выбираете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация экспоненциальной функцией
Сообщение18.03.2018, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Есть два стула Ой, не в это окно...
Есть два коэффициента. Один подход даёт более точную оценку первого, второй другого. Какой выберете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация экспоненциальной функцией
Сообщение18.03.2018, 14:38 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
Александрович в сообщении #1298023 писал(а):
Задача состоит в выборе варианта, при котором точнее находятся коэффициенты $a,b,c.$
Я выбираю второй, но не знаю как это математически строго доказать. Не поможете?

Ответа на заданный вопрос я так и не получу? Зачем здесь никчемушные вопросы, как лично я нахожу указанные коэффициенты аппроксимации? Пусть вы ставите перед собой задачу о выборе наиболее верного варианта. Какой выберете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация экспоненциальной функцией
Сообщение18.03.2018, 15:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
"Чтобы задать вопрос, надо знать большую часть ответа".

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация экспоненциальной функцией
Сообщение18.03.2018, 15:49 


27/08/16
9426

(Оффтоп)

Александрович в сообщении #1298089 писал(а):
Какой вариант вы выбираете?

Вы чего-то путаете в основах мироздания. Вам что-то непонятно - вы задаёте вопрос - вам помогают разобраться в том, что вам непонятно. Вы благодарите, ничего не требуя. На этом форуме только так. Задача ваша, а не моя, так что, и варианты выбираете вы, а не я. Я в экселе ничего не считаю. А хотите получить ответ на свой вопрос - сначала грамотно сформулируйте вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация экспоненциальной функцией
Сообщение18.03.2018, 15:55 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
realeugene в сообщении #1298108 писал(а):
А хотите получить ответ на свой вопрос - сначала грамотно сформулируйте вопрос.

См. стартпост.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппроксимация экспоненциальной функцией
Сообщение18.03.2018, 16:30 


27/08/16
9426
Александрович в сообщении #1298023 писал(а):
Я выбираю второй, но не знаю как это математически строго доказать. Не поможете?
А я подумал, и выбираю первый вариант.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group