2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение24.02.2018, 15:13 
Заблокирован


19/02/13

2388
Попало мне в руки простенькое уравнение:
$\sqrt{x+4}+x-2=0$
Начал решать. Сначала перенёс пару слагаемых направо:
$\sqrt{x+4}=2-x$
Возвёл обе части равенства в квадрат:
$x+4=(2-x)^2$
$x+4=4-4x+x^2$
При этом не забываю про условие
$x+4\geqslant0$
Собираю уравнение
$0=x^2-4x-x+4-4$
что вроде бы эквивалентно
$x^2-4x-x+4-4=0$
$x^2-5x=0$
Выношу $x$ за скобки:
$x(x-5)=0$
Получаю два корня
$x_1=0$
$x_2=5$
Проверка показывает, что $x_2$ в исходное уравнение не подходит, этот корень лишний, хотя и отвечает условию $x+4\geqslant0$. Откуда он взялся? Где я что упустил? Подозреваю, что причина кроется в переносе $x^2$ со стороны в сторону, где-то в момент построения $x^2-4x-x+4-4=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение24.02.2018, 15:15 


21/05/16
4292
Аделаида
Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):
Откуда он взялся?

Из-за возведения уравнения в квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение24.02.2018, 15:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):
При этом не забываю про условие
$x+4\geqslant0$

Еще не забудьте про условие $2-x\geqslant{0}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение24.02.2018, 15:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):
При этом не забываю про условие
$x+4\geqslant0$
Про него как раз можно забыть, следующее уравнение уже говорит что оно квадрат.
А про $2 - x \geq 0$ забыли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение24.02.2018, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
А подставьте ложный корень в
$\sqrt{x+4}=x-2$
А потом возведите это уравнение в квадрат и помедитируйте над тем, что получилось...

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение24.02.2018, 15:39 
Заблокирован


19/02/13

2388
thething в сообщении #1294097 писал(а):
Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):
При этом не забываю про условие
$x+4\geqslant0$

Еще не забудьте про условие $2-x\geqslant{0}$

Точно, ведь результат извлечения квадратного корня тоже должен быть неотрицательным! :oops:
Спасибо всем!

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение24.02.2018, 15:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
не подкола ради

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1294100 писал(а):
А подставьте ложный корень в
$\sqrt{x+4}=x-2$
А потом возведите это уравнение в квадрат и помедитируйте над тем, что получилось...

Так и буддистом можно стать

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение24.02.2018, 15:43 
Заблокирован


19/02/13

2388
Евгений Машеров в сообщении #1294100 писал(а):
А подставьте ложный корень в
$\sqrt{x+4}=x-2$
А потом возведите это уравнение в квадрат и помедитируйте над тем, что получилось...

Этот момент я тоже отметил. Только ведь при переносе слагаемых вправо их знаки меняются. Что ложным корнем оказалась пятёрка, а не другое число - не случайность, она как-то связана с уравнением, и связь эта где-то в возведении в квадрат и в умножениях на минус единицу сидит. Над этим действительно можно помедитировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение24.02.2018, 16:58 


21/05/16
4292
Аделаида
Vladimir-80 в сообщении #1294105 писал(а):
Что ложным корнем оказалась пятёрка, а не другое число - не случайность,

Так очевидно, что не случайность. Просто алгебраический корень равен плюс-минус арифмитический корень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение24.02.2018, 19:55 


28/08/13
521
Vladimir-80 в сообщении #1294105 писал(а):
Этот момент я тоже отметил. Только ведь при переносе слагаемых вправо их знаки меняются. Что ложным корнем оказалась пятёрка, а не другое число - не случайность, она как-то связана с уравнением, и связь эта где-то в возведении в квадрат и в умножениях на минус единицу сидит. Над этим действительно можно помедитировать.

Разные уравнения $f(x)=g(x)$ и $f(x)=-g(x)$ после возведения в квадрат дают одинаковое уравнение $f^2(x)=g^2(x).$ Чему равносильно это уравнение с квадратами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение25.02.2018, 09:25 
Заблокирован


19/02/13

2388
Ascold в сообщении #1294178 писал(а):
Чему равносильно это уравнение с квадратами?

Вижу, это как раз мой случай. Оба равенства - и моё, и пример Евгения Машерова - дадут при возведении в квадрат одинаковый результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение25.02.2018, 20:04 


29/09/06
4552
Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):
Попало мне в руки простенькое уравнение:

Хочу добавить кое-что на случай, если бы оно попало Вам в руки на письменном экзамене.
Вы уже убедились, что возведение обеих частей в квадрат не есть эквивалентное преобразование уравнения.

Решая некое уравнение, Вы, возможно, домножаете обе части на 2, или на 0.1, или прибавляете к обеим частям 1, или... Найдя корни, Вы их на всякий случай проверяете, подставляя в уравнение. И делаете это только в черновичке!

Но ежели Вы позволили себе возведение обеих частей уравнения в квадрат, то эта проверка должна присутствовать в чистовике как необходимая часть решения задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение25.02.2018, 20:21 


03/06/12
2742
И еще, так, на всякий случай.
Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):
Откуда он взялся?

От уравнения
Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):
$x+4=(2-x)^2$

вы не обязательно перейдете к уравнению
Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):
$\sqrt{x+4}=2-x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение26.02.2018, 13:10 
Заблокирован


19/02/13

2388
Итак, мои выводы из темы:
Как "шпаргалку" при решении квадратных уравнений нужно запомнить, что равенство $\sqrt{4}=2$ верно лишь отчасти. Правильно оно выглядит как $\sqrt{4}=\pm 2$ (Кстати, это правильный символ "плюс-минус", или тут нужен другой код?)

С учётом вышеизложенного, будет ли верным равенство $\sqrt{4}=-\sqrt{4}$ ? Или тут нужны оговорки и условия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение26.02.2018, 13:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Vladimir-80 в сообщении #1294449 писал(а):
Правильно оно выглядит как $\sqrt{4}=\pm 2$

Чиво?
Vladimir-80 в сообщении #1294449 писал(а):
будет ли верным равенство $\sqrt{4}=-\sqrt{4}$ ?

Чиво? Хм, допустим, что верно, тогда $2\sqrt{4}=0$, и?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group