2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Хамель vs Шаудер
Сообщение20.01.2018, 13:13 


19/03/15
291
Замучился разбирать тонкости между базисами Хамеля и Шаудера. Может кто просвятит? Чтобы очертить круг и не разбегаться сначала оговорим немногое. Пусть пространство строго НЕ конечномерно. Хотя вопрос о размерности невозможен без понятия базиса, поэтому здесь наверно нужны комментарии. Поправляйте меня, если надо, ниже. Для начала я пытаюсь понять, какое отношение имеет слово "базис" в термине "базис Хамеля" применительно к бесконечномерному пространству? В базисах Хамеля явно фигурирует слово конечные (комбинации). И как вообще понимать, что такой базис всегда существует в силу акиомы выбора? Искать цитаты лень, но пишется такое часто. До этого момента не трогаем топологию и поэтому соотносить Хамеля и Шаудера бессмысленно. Хорошо, пусть так; еще никаких топологий. Тогда получается, что "Хамель" - формально алгебраическая конструкция. Какой в ней толк тогда? Ясно, что функции на пространстве и, вообще, анализ на нем осмысленны только когда включим конструкции Шаудера (бесконечные линейные комбинации). Но тогда снова ... Пусть я не знаю, что такое "хамель", но знаю "шаудера". Что теряю при этом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Хамель vs Шаудер
Сообщение20.01.2018, 16:31 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
maximav в сообщении #1285898 писал(а):
И как вообще понимать, что такой базис всегда существует в силу акиомы выбора?


Понимать это следует так.

Как Вам известно, существует такая часть математики, называемая "теория множеств". Она имеет три "уровня" (по моему пониманию):
(а) элементарная теория множеств, т.е. теоретико-множественный язык. Пример утверждения из этой области: если $X$ --- любое множество, $A,B,C$ --- три его произвольные подмножества, то всегда $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$. Этой частью теории множеств пользуются все.
(б) "наивная" теория множеств. Она имеет дело с более сложными утверждениями, например такими: если $A$ --- произвольное бесконечное множество, то его декартов квадрат $A\times A$ имеет ту же мощность, что и $A$. Этой частью теории множеств пользуются гораздо реже.
(в) аксиоматическая теория множеств. Она связана с математической логикой и вопросами оснований математики. Представляет интерес в основном для специалистов по математической логике. Я с этой частью математики не знаком, и мое отношение к ней вообще скептическое.

Есть такое утверждение. Пусть $\{X_i\mid i\in I\}$ --- произвольное семейство непустых множеств, элементы которого занумерованы элементами некоторого множества $I$. Пусть $Y=\cup_{i\in I}X_i$ --- объединение всех множеств из этого семейства. Тогда существует некоторая функция $f$ из $I$ в $Y$ такая, что $f(i)\in X_i$ для любого $i\in I$.
Попросту говоря, мы для каждого $i$ можем выбрать некоторый элемент в $X_i$.

На первый взгляд, это утверждение выглядит совершенно очевидным; в самом деле, как же может быть иначе? Оно примерно так же очевидно, как постулат о параллельных применительно к евклидовой геометрии. Тем не менее, как существует неевклидова геометрия, так же можно построить и "теории множеств", в которых это утверждение
не верно. Но в наивной теории множеств, с которой почти все математики и имеют дело, это утверждение рассматривается как самоочевидное. А само оно называется "аксиома выбора".

Теперь собственно ответ на вопрос такой. Утверждение "базис Гамеля всегда существует в силу аксиомы выбора" надо понимать так. Если строить математику "строго" на основе аксиматической теории множеств, то для доказательства существования базиса Гамеля необходимо использовать аксиому выбора. А если строить математику на основе "неклассических" теорий множеств, в которых аксиома выбора неверна, то существование базиса Гамеля доказать, вообще говоря, не удастся. Вот такой ответ.

Следует сказать, что базис Гамеля --- это зачастую вещь эфемерная. Например, если рассмотреть ${\mathbb R}$ как пространство над ${\mathbb Q}$, то оно, конечно, имеет некоторый базис Гамеля. Но его нельзя конкретно "пощупать". Кажется, кто-то про квантовую механику сказал, что мы можем понять вещи, которые не в силах себе представить. Вот и с базисом ситуация похожая. Тем не менее, факт существования базиса в любом пространстве --- вещь полезная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хамель vs Шаудер
Сообщение21.01.2018, 02:11 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Базисы Гамеля мне нравятся тем, что с их помощью легко строятся полезные контрпримеры. Скажем, полезно знать , что не все линейные функционалы на бесконечномерном нормированном пространстве ограничены и т.д. Полезно просто в чисто понятийном плане. Полезно знать, что любое подпространство алгебраически дополняемо. Базис Гамеля удобен при рассмотрении тензорных произведений.
Базисы Шаудера, кстати, бывают не во всех банаховых пространствах.
maximav в сообщении #1285898 писал(а):
До этого момента не трогаем топологию и поэтому соотносить Хамеля и Шаудера бессмысленно.


Соотносить Гамеля и Шаудера бессмысленно. Но структура, связанная с нормой, всетаки влияет и на базис Гамеля. Скажем, базис Гамеля бесконечномерного банахова пространства не может быть счетным.
maximav в сообщении #1285898 писал(а):
Хотя вопрос о размерности невозможен без понятия базиса

Назовем пространство бесконечномерным если для любого натурального $n$ в нем найдется линейно независимый набор из $n$ векторов

 Профиль  
                  
 
 Re: Хамель vs Шаудер
Сообщение21.01.2018, 02:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8336
Цюрих
pogulyat_vyshel в сообщении #1286049 писал(а):
Назовем пространство бесконечномерным если для любого натурального $n$ в нем найдется линейно независимый набор из $n$ векторов
Это будет просто классификация на конечномерные (ну и для них точная размерность) и бесконечномерные.
Без аксиомы выбора ввести понятие размерности не получится - у пространства могут существовать базисы разной мощности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хамель vs Шаудер
Сообщение21.01.2018, 09:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
mihaild в сообщении #1286051 писал(а):
Без аксиомы выбора ввести понятие размерности не получится - у пространства могут существовать базисы разной мощности.

И наименьшая мощность не поможет? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Хамель vs Шаудер
Сообщение21.01.2018, 09:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Brukvalub в сообщении #1286062 писал(а):
И наименьшая мощность не поможет? :shock:


Для сравнения мощностей (точнее, принципа трихотомии) тоже нужна аксиома выбора.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Ludi, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group