2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение нестандартных СЛАУ (несовместные / переопределенные
Сообщение18.01.2006, 15:47 


18/01/06
1
Я на факультете слышал о решении систем, когда количество уравнений превосходит количество неизвестных или систем вида: x+y=1; x+y=2
Если кто знает, подскажите, в какой литературе можно найти об этом :?:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2006, 19:50 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Приведенная вами система не имеет решений. Было бы интересно посмотреть, как кто-нибудь будет ее решать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2006, 20:37 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5217
Возможно имеется в виду задача о максимальной разрешимой подсистеме. Но эта задача NP-полна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2006, 20:55 
Заслуженный участник


09/01/06
799
Dan_Te писал(а):
Приведенная вами система не имеет решений. Было бы интересно посмотреть, как кто-нибудь будет ее решать.


Методом наименьших квадратов можно искать решение, наименее уклоняющееся от прямых. У меня воспоминание, что об этом я читал у Гельфанда в "Лекциях по линейной алгебре". Возможно, я ошибаюсь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.01.2006, 22:02 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5217
V.V. писал(а):
Методом наименьших квадратов можно искать решение, наименее уклоняющееся от прямых.

Если речь идет о минимизации |Ax-b| для несовместной системы уравнений Ax=b, то проще это делать через псевдообратную матрицу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2006, 11:07 


07/01/06
9
Система уравнений, в которой число уравнений превышает число неизвестных, называется переопределенной.
Ее решают методом Гаусса. В процессе решения становится понятно, имеет система решения или нет.
В первом случае выявляются и отбрасываются линейно зависимые уравнения и остаются только линейно
независимые, число которых не превышает число неизвестных; во втором - приходим к несовместной системе.
Если же речь идет о "решении" несовместных систем, то сначала надо определить, что это такое.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2006, 11:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5486
Новосибирск
Скорее всего подразумевается наилучшее приближение. В стандартной метрике (см. пост maxal'а) это равносильно отысканию решения совместной системы $A'Ax = A'b$ (штрих - это транспонрование). Если возникающая здесь матрица Грама окажется вырожденной, то это наилучшее решение будет не единственным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.01.2006, 04:44 


07/01/06
9
Все правильно. Когда выбирается подлежащий минимизации функционал |Ax - b|, тем самым дается определение "решения" несовместной системы Ax=b. А функционал можно выбирать по-разному. Слова "наилучшее приближение" позволяют обратиться к геометрической интерпретации. И если под стандартной метрикой понимать евклидову, то можно еще кое-что обсудить.
Каждое уравнение системы Ax=b задает плоскость. Пусть задача имеет единственное решение - точку пространства, самую близкую к этим плоскостям в смысле функционала |Ax - b|. Функционал является длиной вектора y=Ax-b в евклидовой метрике. Решение задачи будет минимизировать и квадрат функционала, т.е. сумму квадратов компонент вектора y.
Далее, умножение допустим первого уравнения системы Ax=b на не равное нулю число не изменит положения первой плоскости и вся геометрическая "картинка" останется без изменений. Однако это изменит значение функционала в найденной оптимальной точке x - увеличит или уменьшит квадрат первой компоненты вектора y. Малое смещение из точки x к или от первой плоскости приведет к уменьшению длины вектора y, а задача будет иметь другое оптимальное решение, что не удивительно, раз изменился функционал.
Но из геометрических представлений логичнее, чтобы решение задачи - наилучшее приближение - не менялось при таких изменениях системы Ax=b, которые не меняют геометрической "картинки". Логичнее, чтобы сумма квадратов расстояний от оптимальной точки до плоскостей была наименьшей. Хода решения это не изменит, изменит только функционал, в котором строки матрицы А должны быть отнормированы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group