Принцип Мопертюи в интерпретации Ферми

[metelev]

Есть такая книга Ферми "Квантовая механика", изданная по конспекту его лекций, который он собственноручно писал и ксерил и студентам раздавал. Издана была после его смерти, он сам её к публикации не готовил. Это в предисловии написано.

На каждом развороте слева воспроизводится страничка рукописного конспекта, справа те же формулы, набранные типографским способом плюс текст. То есть формулы Ферми, а пояснения уже не его, а кого-то. На первой странице обосновывается правильность принципа Мопертюи. Сначала пишет так.

$$\delta \int \sqrt{E-U}ds = \int \left \{ \sqrt{E-U} \delta ds - \frac{\delta U}{2 \sqrt{E-U}} ds \right \} = 0$$

Ладно, допустим. (Здесь $E$ полная энергия, $U$ потенциальная энергия, $ds$ элемент траектории.)

Далее пишет так: $ \delta ds = \frac{dx}{ds} \delta dx$

Этого я уже не понимаю. Если бы я сам писал, я бы дробь перевернул. В рукописном варианте то же равенство написано так: $ \delta ds = S\frac{dx}{ds} \delta dx$, то есть добавляется буква S в правой части, что она должна символизировать непонятно совсем. Видимо люди, которые набирали текст, понимали формулы и сочли возможным лишнюю букву выкинуть.

Я не буду всё воспроизводить. В википедии практически дословно и добуквенно воспроизводится эта часть книги, страничка так и называется "Принцип Мопертюи". В конце получается, что $m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{\partial U}{\partial x}$

У меня не получается ни проследить, как Ферми получает известное равенство из принципа Мопертюи, ни придумать своих рассуждений на эту тему.

У Эйлера в его книге "Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума либо минимума", в самом конце, говорится об этом принципе. Но Эйлер величину скорости вычисляет отдельно, и только для определения вида траектории использует свой принцип. У Эйлера всё честно, у него там элемент пути выражается через $\sqrt{1+p^2}$, где $p=dy/dx$ и т.п. Ферми ничего этого не делает. Да и вообще, никакую траекторию он не ищёт, потому что вся задача у него одномерная в конце получается, какая же тут траектория?

Ну а с другой стороны комментарий в книге как раз к этому месту написан так, как будто всё понятно.

[svv]

В типографском тексте векторные величины набраны полужирным, я тоже следую этому.
Имеем:
$\begin{array}{l}ds^2=d\mathbf x\cdot d\mathbf x\\\delta (ds^2)=\delta(d\mathbf x\cdot d\mathbf x)\\2\,ds\,\delta ds=2d\mathbf x\cdot \delta d\mathbf x\\\delta ds=\frac{d\mathbf x}{ds}\cdot \delta d\mathbf x\end{array}$
(точка — скалярное произведение)
Что Ферми обозначал буквой $S$, по-видимому, осталось загадкой и для людей, приводивших в порядок его конспекты, тем более что с точки зрения вывода тут никакой дополнительной величины не требуется. Может быть, это обозначение суммирования по всем компонентам?

[pogulyat_vyshel]

Практика показывает, что принцип Мопертюи для физиков штука слишком тонкая. Читайте Арнольд Мат методы классической механики

[svv]

Согласно самому Арнольду, виноваты в этом не только физики. См. сноску:

[metelev]

[quote="svv в сообщении #1277776"][/quote]

Спасибо большое за ответ.

То есть это вектор. Немного понятнее стало. Дальше буду думать.

У Эйлера принцип Мопертюи с принципом наименьшего действия связывается очень просто. Принцип Мопертюи это минимизация $\int mv \cdot ds$, поскольку вместо $ds$ можно написать $ds/dt \cdot dt$, а $ds/dt=v$, то мы имеем право минимизировать $\int mv^2 dt$.

У Эйлера, правда, обозначения другие. У Эйлера используется тоже $v$, но эта буква у него обозначает квадрат нашей скорости.

[svv]

Всегда хочется ясного понимания действий, которые физики обычно совершают, вычисляя вариацию подобных интегралов. Лично у меня такая ясность наступает, когда я применяю два приёма. Один касается выбора переменной интегрирования, второй касается интерпретации символа вариации $\delta$. Если будет интересно, расскажу.

[metelev]

Интересно, расскажите пожалуйста.

[pogulyat_vyshel]

svv в сообщении #1277809 писал(а):

Согласно самому Арнольду, виноваты в этом не только физики. См. сноску:

Тем не менее, у Арнольда все сформулировано корректно, а в этой ветке сейчас начнется трэш, как я полагаю
Кстати, в одном из первых изданий книжки Арнольда эта фраза звучала так: "не решаюсь нарушать традицию и отсылаю читателя к учебнику Ландау Лифшица"

[arseniiv]

Ну раз предвещают трэш, можно я тогда спрошу, а есть ли формулировки вариационных принципов без использования вариации, а с использованием обычной производной (из банахового в банахово)?

[metelev]

arseniiv в сообщении #1278403 писал(а):

Ну раз предвещают трэш, можно я тогда спрошу, а есть ли формулировки вариационных принципов без использования вариации, а с использованием обычной производной (из банахового в банахово)?

Эйлер пишет, что с обычной производной получается только в самом простом случае, когда подинтегральная функция зависит только от $x$, $y$.

Задача у него формулируется как поиск $y(x)$ при условии, что $\int Z\cdot dx$ достигает минимума или максимума (стационарного значения, одним словом).

$Z$ может зависеть от $x$, $y$ а так же от $dy/dx$, $d^2y/dx^2$ и т.д., которые он обозначает буквами $p$, $q$, $r$, $s$ и т.д., чтобы не путать с диференциалами, которые при варьировании возникают.

Уравнение, которое он получает, если $Z$ зависит от $x$, $y$, $p$, если в современных обозначениях, $\frac{\partial Z}{\partial y}- \frac{d}{dx}\frac{\partial Z}{\partial p}=0$

Это уже трэш или ещё нет?

[arseniiv]

metelev в сообщении #1278420 писал(а):

Эйлер пишет, что с обычной производной получается только в самом простом случае, когда подинтегральная функция зависит только от $x$, $y$.

Была ли ему известна та, о которой я написал? Боюсь, нет.

[metelev]

arseniiv в сообщении #1278421 писал(а):

metelev в сообщении #1278420 писал(а):

Эйлер пишет, что с обычной производной получается только в самом простом случае, когда подинтегральная функция зависит только от $x$, $y$.

Была ли ему известна та, о которой я написал? Боюсь, нет.

Моя образовательная траектория зацепила слова "банахово пространство" только краешком. Но здесь я вижу только два варианта, поэтому принялся отвечать. Один вариант, в котором диференцирование обозначается буквой $d$ (обычный), другой в котором обозначается буквой $\delta$ (вариационный). Буквы $\delta$ Эйлер вообще не использует. Тем не менее различает диференцирование в обычном смысле и то, которое используется для минимизации интеграла.

[svv]

1) Рассматриваются кривые, соединяющие фиксированные начальную и конечную точки. Переменная интегрирования $s$ в нашем интеграле — длина дуги кривой. Но разные кривые имеют разную длину $S$ и соответственно разные верхние пределы интегрирования.

Так как концы кривых фиксированы, вариация координат на концах обращается в нуль: $\delta \mathbf x|_{s=0}=\delta \mathbf x|_{s=S}=0$, где $S$ зависит от кривой. Удобно перейти к другому параметру: пусть $\mathbf x=\mathbf x(\lambda)$, причём $\lambda$ в начале и конце равен соответственно $0$ и $L$ (константа, одна и та же для всех рассматриваемых кривых). Тогда $\delta \mathbf x|_{\lambda=0}=0$ и $\delta \mathbf x|_{\lambda=L}=0$. После вычисления вариации можно опять вернуться к параметру $s$.

Интеграл принимает вид:
$I=\int\limits_0^L \sqrt{E-U}\,u\,d\lambda$,
где
$u=\frac{ds}{d\lambda}=\sqrt{\frac{d\mathbf x}{d\lambda}\cdot \frac{d\mathbf x}{d\lambda}}$

2) Рассмотрим теперь однопараметрическое семейство таких кривых, (гладко) зависящих от параметра $\varepsilon$. Кривую с $\varepsilon=0$ будем называть исходной. Точка на кривой, принадлежащей семейству, будет функцией двух параметров: $\mathbf x(\varepsilon, \lambda)$, интеграл — функцией $\varepsilon$. Будем понимать символ вариации $\delta$ просто как частную производную по $\varepsilon$ при $\varepsilon=0$ (это «при» ниже подразумевается).

Вычисляем вариации.
$\frac{\partial}{\partial \varepsilon}\sqrt{E-U}=-\left(2\sqrt{E-U}\right)^{-1}\nabla U\cdot \frac{\partial\mathbf x}{\partial\varepsilon}$

$\frac{\partial u}{\partial \varepsilon}=\frac{\partial}{\partial \varepsilon}\sqrt{\frac{\partial\mathbf x}{\partial\lambda}\cdot \frac{\partial\mathbf x}{\partial\lambda}}=\frac 1 u \frac{\partial\mathbf x}{\partial\lambda}\cdot \frac{\partial}{\partial\lambda}\left(\frac{\partial\mathbf x}{\partial\varepsilon}\right)$

$\frac{\partial I}{\partial \varepsilon}=-\int\limits_0^L \left(2\sqrt{E-U}\right)^{-1}\,\nabla U\cdot \frac{\partial\mathbf x}{\partial\varepsilon}\,u\,d\lambda+\int\limits_0^L \sqrt{E-U}\,\frac 1 u \,\frac{\partial\mathbf x}{\partial\lambda}\cdot \frac{\partial}{\partial\lambda}\left(\frac{\partial\mathbf x}{\partial\varepsilon}\right)\,d\lambda$
Второй интеграл возьмём по частям... и так далее.

[pogulyat_vyshel]

Вот было написано некоторое количество формул. Интригующая фраза "... и так далее" видимо означает, что можно еще какие-то формулы написать. Кто бы сомневался. Ну и что, собсна? Какое утверждение все эти формулы должны были доказать?

[svv]

Посмотрите, какие затруднения были у ТС:

metelev в сообщении #1277663 писал(а):

У меня не получается ни проследить, как Ферми получает известное равенство из принципа Мопертюи, ни придумать своих рассуждений на эту тему.

Я показываю, как.