2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Определённый интеграл с параметрами
Сообщение21.12.2017, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
robot80 в сообщении #1277310 писал(а):
Например, $A = 1$, $B = -2$.
Эти значения не удовлетворяют условию
robot80 в сообщении #1277096 писал(а):
его подкоренное выражение всегда положительно (дискриминант отрицателен) и у него корней нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определённый интеграл с параметрами
Сообщение21.12.2017, 20:17 


06/08/13
151
Ну я же сказал, что насчёт всегда отрицательного дискрименанта погорячился...
Но тем не менее квадратный многочлен будет положительным для $\rho <1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определённый интеграл с параметрами
Сообщение21.12.2017, 20:45 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
robot80 в сообщении #1277355 писал(а):
Но тем не менее квадратный многочлен будет положительным для $\rho <1$
Однако его первообразная будет выглядеть иначе. Почему, собственно, это Вас смущает?

Банальный пример. Как выглядит первообразная функции $x^\alpha$? А если $\alpha=-1$? :wink:

P.S. И таки давайте определимся, какими бывают $A$ и $B$. В физических задачах множество возможных значений параметров обычно известно, да и шансы вляпаться точно в особый случай нулевые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определённый интеграл с параметрами
Сообщение21.12.2017, 20:50 
Аватара пользователя


23/07/07
164
В своем сообщении #1276461 о бесконечном значении интеграла при $A-\frac{B^2}{4}=0$ я тоже "погорячился", в этом случае следует исходный интеграл понимать как
$$\int_0^{\rho}\frac{dr}{\sqrt{r^2+Br+A}}=\int_0^{\rho}\frac{dr}{\sqrt{\left(r+\frac{B}{2}\right)^2+\underbrace{A-\frac{B^2}{4}}_{=0}}}=\ln\left|\frac{2\rho}{B}\right|,$$что попадает под Ваш случай при $A=1$ и $B=-2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определённый интеграл с параметрами
Сообщение21.12.2017, 23:32 
Аватара пользователя


23/07/07
164
Предыдущий пост не могу править (может быть модераторы скорректируют и удалят этот пост), исправляю ошибку
$$\int_0^{\rho}\frac{dr}{\sqrt{r^2+Br+A}}=\ln\left|\frac{2\rho}{B}+1\right|,$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определённый интеграл с параметрами
Сообщение22.12.2017, 10:29 


06/08/13
151
Pphantom, давайте!
Я вычисляю значение потенциала трёхмерного тела, измеренное в некоторой точки, которая расположена вне тела. Вычисляю в сферической системе координат.
$\rho$ - длина радиус вектора, $A = x_M^2 + y_M^2 +z_M^2$ - расстояние от центра тела до точки измерения M, $B = -2(x_M \cdot f_1(\varphi, \psi,\gamma) +y_M \cdot f_2(\varphi, \psi) + z_M \cdot f_3(\varphi, \psi,\gamma) )$, где углы $\varphi , \psi$ - углы сферической системы координат, а угол $\gamma$ - угол наклона тела относительно оси $Oy$, функции $f_1, f_2 , f_3$ - это произведения синусов и косинусов этих углов.
Получается, что $0<\rho < \sqrt{A}, A >0$, а В - любое.
Наверно, проблема заключалась в неточном равенстве нулю дискриминанта и рассмотрении не той подстановки при частном случае $d_1 = b^2 -4A = 0$.
Должно быть наверное так:

$\int_0^\rho \frac{dr} {\sqrt{r^2 + Br +A}} = \ln|\rho+ \frac{B}{2} +\sqrt{r^2 + Br +A}| - \ln|\frac{B}{2}+\sqrt{A}|$ , если $d_1 = b^2 -4A <0$


$\int_0^\rho \frac{dr} {\sqrt{r^2 + 2\sqrt{A}r +A}} = \ln|\rho+ \sqrt{A}| - \ln\sqrt{A}$, если $d_2 = b-2 \sqrt{A} =0$

$\int_0^\rho \frac{dr} {\sqrt{r^2 - 2\sqrt{A}r +A}} = \ln|\rho- \sqrt{A}| - \ln\sqrt{A}$, если $d_3 = b+2 \sqrt{A} =0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определённый интеграл с параметрами
Сообщение22.12.2017, 10:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
robot80 в сообщении #1277566 писал(а):
Должно быть наверное так:
Раньше нижний предел интегрирования был равен нулю, а теперь стал единицей. А формулы написаны для нуля.

robot80 в сообщении #1277566 писал(а):
$\int_1^\rho \frac{dr} {\sqrt{r^2 - 2\sqrt{A}r +A}} = \ln|\rho- \sqrt{A}| - \ln\sqrt{A}$, если $d_3 = b+2 \sqrt{A} =0$
Только при условии, что точка $\rho=\sqrt{A}$ лежит вне отрезка интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определённый интеграл с параметрами
Сообщение22.12.2017, 11:09 


06/08/13
151
Исправил нижний предел...
Цитата:
Только при условии, что точка $\rho=\sqrt{A}$ лежит вне отрезка интегрирования.

У меня $\rho <\sqrt{A}$, так что это условие выполняется.

-- 22.12.2017, 14:34 --

Singular, если делать такую подстановку, то при $B=0$ или $\rho = -\frac{B}{2}$ получаются невычислимые первообразные, а я как раз от этого хочу избавиться :-). В Градштейне и Рыжике, кстати, такая подстановка приведена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определённый интеграл с параметрами
Сообщение22.12.2017, 12:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Пока завтракал, заметил ещё одну ошибку.
robot80 в сообщении #1277566 писал(а):
$\int_0^\rho \frac{dr} {\sqrt{r^2 - 2\sqrt{A}r +A}} = \ln|\rho- \sqrt{A}| - \ln\sqrt{A}$, если $d_3 = b+2 \sqrt{A} =0$
Дело в том, что $$\frac 1{\sqrt{r^2-2\sqrt{A}r+A}}=\frac 1{\sqrt{\big(r-\sqrt{A}\big)^2}}=\frac 1{\big\lvert r-\sqrt{A}\big\rvert}=\begin{cases}-\frac 1{r-\sqrt{A}},\text{ если }r<\sqrt{A},\\ \phantom{-}\frac 1{r-\sqrt{A}},\text{ если }r>\sqrt{A}.\end{cases}$$ Поэтому правильно будет $$\int\limits_0^{\rho}\frac{dr}{\sqrt{r^2-2\sqrt{A}r+A}}=\ln\sqrt{A}-\ln\big\lvert\rho-\sqrt{A}\big\rvert\text{ при }0\leqslant\rho<\sqrt{A}.$$
Ещё опечатка:
robot80 в сообщении #1277566 писал(а):
$\int_0^\rho \frac{dr} {\sqrt{r^2 + Br +A}} = \ln|\rho+ \frac{B}{2} +\sqrt{r^2 + Br +A}| - \ln|\frac{B}{2}+\sqrt{A}|$ , если $d_1 = b^2 -4A <0$
Под корнем нужно заменить $r$ на $\rho$.

P.S. Маленькие замечания.
1) Как я догадываюсь, на самом деле "$b$" — это "$B$".
2) Обозначения $d_1$, $d_2$, $d_3$ для дискриминанта мне кажутся избыточными. Обозначили один раз дискриминант, допустим, $D=B^2-4A$, и далее пишете всякие условия с ним в виде $D>0$, $D=0$, $D<0$ и т.п. Не нравится $D$ — обозначьте $\mathscr D$ или ещё как-нибудь, но три-то обозначения для одного выражения зачем? Хотя это, конечно, не запрещено.
3) Если $D>0$, $r_1$ и $r_2$ — корни квадратного трёхчлена $r^2+Br+A$ (считаем, что $r_1<r_2$), то подынтегральная функция и её первообразная существуют на промежутках $r<r_1$ и $r>r_2$, причём, первообразная продолжается по непрерывности в точки $r=r_1$ и $r=r_2$.
Если $B>2\sqrt{A}$, то корни отрицательные, и интеграл существует при всех $\rho\geqslant 0$.
Если $B<-2\sqrt{A}$, то корни положительные, и интеграл существует при $0\leqslant\rho\leqslant r_1=\frac 12\big(-B-\sqrt{D}\big)$. Однако, если я не ошибся, в этом случае $r_1<\sqrt{A}$, поэтому проинтегрировать от $0$ до $\sqrt{A}$ не удастся.
Насколько эти случаи осмысленны в вашей задаче — смотрите сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определённый интеграл с параметрами
Сообщение22.12.2017, 16:33 


06/08/13
151
Someone, спасибо за найденную неточность!
Спасибо всем за участие в обсуждении проблемы. Я модифицировал программу и она даже работает:) Тему считаю закрытой :-) .

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group