Асимптотика интеграла Лапласа

[Jesus_in_Vegas]

Добрый день, пожалуйста, помогите разобраться.
Нужно найти главный член асимптотики интеграла:
$ \int\limits_{0}^{\infty}(1+t)^{\lambda}e^{-\lambda t}dt, \lambda->\infty $

Понятно что $s(x)=t-\ln(1+t)$ и имеется стационарная точка $t_{0}=0$ на границе отрезка, так как интеграл сводится к
$\int\limits_{0}^{\infty}e^{\ln(1+t)^{\lambda}}e^{-\lambda t}dt= \int\limits_{0}^{\infty}e^{\lambda\ln(1+t)-\lambda t}dt = \int\limits_{0}^{\infty}e^{\lambda(\ln(1+t)-t)}dt = \int\limits_{0}^{\infty}e^{-\lambda(t-\ln(1+t))}dt$

Но тогда не выполняется условие теоремы о главном члене асимптотики в случае, когда максимум $s(x)$ достигается на границе отрезка, здесь
$s''(0)=1>0$.

Что нужно делать в этом случае? Какую-то замену? Подскажите, пожалуйста.

[mihiv]

Как определяется в условии теоремы функция $s(x)$ ?

[ewert]

Jesus_in_Vegas в сообщении #1274667 писал(а):

$s(x)=t-\ln(1+t)$ и имеется стационарная точка $t_{0}=0$ на границе отрезка

По-моему, тут проще всего вспомнить, откуда вообще брался метод Лапласа. Он базировался на обрезании интеграла сужающимися окрестностями стационарной точки -- двусторонними. Ну а тут окрестности односторонние, вот и всё.

[Markiyan Hirnyk]

Произведя замену $x=1+t$ , получаем, что

$ J:=\int\limits_0^\infty(1+t)^\lambda e^{-\lambda t}\,dt= \int\limits_1^\infty x^\lambda e^{-\lambda (x-1)}\,dx = e^\lambda \int\limits_1^\infty x^\lambda e^{-\lambda x}\,dx = e^\lambda \int\limits_0^\infty x^\lambda e^{-\lambda x}\,dx +O\left( \frac {e^\lambda}{\lambda+1}\right), \lambda \to \infty .$ .
Как показано, например, в В. Зорич. Математический анализ. Т.2. - Наука, М.:-1984, Пример 7 на С. 611,
последний интеграл равен $\sqrt{2\pi\lambda}\left(\frac \lambda e \right)^\lambda(1+O(\lambda^{-1/2})),\,\lambda \to\infty$.

[svv]

ewert
Markiyan Hirnyk
У человека задание: ничего не изобретая, применить теорему о главном члене асимптотики. Формула ему известна. Проблема в другом: в выражении для $s(t)$ у него ошибка в знаке. И теперь ему кажется, что нарушаются условия теоремы.

[Markiyan Hirnyk]

svv
Пожалуйста, дайте ссылку на

Цитата:

теорему о главном члене асимптотики

или ее формулировку.
Заранее признателен.

[svv]

Ваш же Зорич, часть 2, стр.729.
(Издание 2002 года)

[Markiyan Hirnyk]

svv в сообщении #1274805 писал(а):

Ваш же Зорич, часть 2, стр.729.

Пожалуйста, точную ссылку с указанием номера теоремы. У меня издание 1984 года, в котором нет с. 729 вообще.

[Ms-dos4]

Markiyan Hirnyk
Имеется ввиду эта теорема

[svv]

Ms-dos4, спасибо.


Определение интеграла (1), упомянутого в теореме:

[Markiyan Hirnyk]

Ms-dos4
Спасибо. Не понимаю, как применить теорему 1: $f(x)=(x+1)^\lambda$ и зависит от $\lambda$, а $S(x)=-x.$

[Xaositect]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1274813 писал(а):

Ms-dos4
Спасибо. Не понимаю, как применить теорему 1: $f(x)=(x+1)^\lambda$ и зависит от $\lambda$, а $S(x)=-x.$

$(x+1)^{\lambda}$ прекрасно представляется в виде $e^{\lambda S(x)}$.

[svv]

Да, и ещё:

[Markiyan Hirnyk]

svv
Спасибо, понял: теорема 1, случай а).

[Ms-dos4]

Markiyan Hirnyk
Нет, не случай a), а случай c)